Use qualquer método para determinar se a série converge.
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2+(-1){k}}{5{k}}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumk=1^infty 2 + (-1)^k5^k
Este é um problema de séries numéricas e vamos usar a ideia de séries geométricas para resolver.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral somando duas séries geométricas:
2 + (-1)^k5^k = 2 cdot 15^k , + , (-1)^k5^k = 2l(15r)^k + l(-15r)^k
Logo,
sumk=1^infty 2 + (-1)^k5^k = 2sumk=1^infty l(15r)^k + sumk=1^infty l(-15r)^k .

Passo 3

Cada uma das somas à direita é uma série geométrica com razão
r1 = tfrac15 e r2 = -tfrac15 e ambas satisfazem |ri| < 1. Pelo critério das séries geométricas, elas convergem.

Passo 4

Para encontrar a soma, usamos a fórmula sumk=1^infty r^k = tfracr1-r:
S1 = 2cdot tfrac151 - tfrac15 = 2cdot 1/54/5 = 12,
S2 = -tfrac151 - l(-tfrac15r) = -1/56/5 = -tfrac16
Assim, a soma total é
S = S1 + S2 = 12 - 16 = 13

Resposta

A série converge (absolutamente) e seu valor é tfrac13.

Exercícios relacionados