Resolva a equação diferencial, encontrando sua solução geral: ( 1,0 \mathrm{pt} )
4 y^{\prime \prime}+36 y=\operatorname{cosec} 3 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''+36y=\csc3x.
O conteúdo envolve duas etapas clássicas: encontrar a solução da equação homogênea associada e depois obter uma solução particular por variação de parâmetros.

Passo 2

Dividindo tudo por 4, escrevemos
y''+9y=\tfrac14\,\csc3x.
A equação homogênea é
y''+9y=0,
cuja equação característica é
r^2+9=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm3i.
Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h=C_1\cos3x+C_2\sin3x.

Passo 3

Para a solução particular y_p, usamos variação de parâmetros. Tomamos as soluções fundamentais da homogênea:
y_1=\cos3x,\quad y_2=\sin3x,
e supomos
y_p=u_1(x)\,y_1+u_2(x)\,y_2
com as restrições
u_1'y_1+u_2'y_2=0, \qquad u_1'y_1'+u_2'y_2'=\tfrac14\,\csc3x.

Passo 4

Calculemos o wronskiano:
W =y_1y_2'-y_1'y_2 =\cos3x\cdot(3\cos3x)-(-3\sin3x)\cdot\sin3x =3(\cos^2\!3x+\sin^2\!3x)=3.
As fórmulas dão
u_1'=-\frac{1}{W}\,\Bigl(\tfrac14\,\csc3x\Bigr)\,y_2 =-\frac{1}{3}\,\frac{1}{4}\,\csc3x\,\sin3x =-\tfrac1{12},
u_2'=\frac{1}{W}\,\Bigl(\tfrac14\,\csc3x\Bigr)\,y_1 =\frac{1}{3}\,\frac{1}{4}\,\csc3x\,\cos3x =\tfrac1{12}\cot3x.

Passo 5

Integramos:
u_1(x)=-\int\tfrac1{12}\,dx=-\tfrac{x}{12}, \qquad u_2(x)=\tfrac1{12}\int\cot3x\,dx =\tfrac1{12}\cdot\tfrac1{3}\ln\bigl\lvert\sin3x\bigr\rvert =\tfrac1{36}\ln\bigl\lvert\sin3x\bigr\rvert.
Assim
y_p=-\tfrac{x}{12}\cos3x +\tfrac{1}{36}\ln\bigl\lvert\sin3x\bigr\rvert\,\sin3x.
A solução geral é a soma de y_h e y_p.

Resposta

y(x) =C_1\cos3x+C_2\sin3x -\frac{x}{12}\cos3x +\frac{\sin3x}{36}\,\ln\bigl\lvert\sin3x\bigr\rvert.

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