Resolva a equação diferencial, encontrando sua solução geral: ( 1,0 \mathrm{pt} )
4 y^{\prime \prime}+36 y=\operatorname{cosec} 3 x
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
4y''+36y=\csc3x.
O conteúdo envolve duas etapas clássicas: encontrar a solução da equação homogênea associada e depois obter uma solução particular por variação de parâmetros.
Passo 2
Dividindo tudo por 4, escrevemos
y''+9y=\tfrac14\,\csc3x.
A equação homogênea é
y''+9y=0,
cuja equação característica é
r^2+9=0\quad\Longrightarrow\quad r=\pm3i.
Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h=C_1\cos3x+C_2\sin3x.
Passo 3
Para a solução particular y_p, usamos variação de parâmetros. Tomamos as soluções fundamentais da homogênea: