Resolva a equação diferencial, encontrando sua solução geral: ( 1,0 \mathrm{pt} )
4 x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+8 x \frac{d y}{d x}+y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Cauchy–Euler
4x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+8x\frac{dy}{dx}+y=0
O conteúdo aqui é usar o método de equação de Euler, que consiste em procurar soluções da forma y=x^{m}.

Passo 2

Suponha y=x^{m}. Então
\frac{dy}{dx}=m\,x^{m-1}, \quad \frac{d^{2}y}{dx^{2}}=m(m-1)\,x^{m-2}.
Substituindo na equação dada:
4x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]+8x\bigl[mx^{m-1}\bigr]+x^{m}=0.

Passo 3

Fatorando x^{m} (que é não nulo para x\neq0), obtemos a equação indicial
4\,m(m-1)+8\,m+1=0 \quad\Longrightarrow\quad 4m^{2}+4m+1=0.

Passo 4

A equação 4m^{2}+4m+1=0 tem discriminante
\Delta=4^{2}-4\cdot4\cdot1=16-16=0,
logo há raiz dupla
m=-\frac{4}{2\cdot4}=-\frac12.
Para raiz dupla em Euler, a solução geral é
y=C_{1}\,x^{m}+C_{2}\,x^{m}\ln x =C_{1}\,x^{-1/2}+C_{2}\,x^{-1/2}\ln x.

Resposta

A solução geral é
y(x)=C_{1}\,x^{-\tfrac12}+C_{2}\,x^{-\tfrac12}\ln(x).

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