Resolva o PVI a seguir: (
)
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
com as condições
Para resolver, vamos usar o método usual para EDO linear de segunda ordem: achar a solução complementar da equação homogênea e depois uma solução particular da parte não homogênea.
Passo 2
Calcular a solução da equação homogênea
Usamos a equação característica
cuja resolução pela fórmula de Bhaskara dá
portanto
ou
. Logo a solução complementar é
Passo 3
Propor uma solução particular da forma polinomial de grau 2:
Calculamos as derivadas
e substituímos na equação original:
Isso expande para
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
Resolvendo, achamos
,
,
. Logo
Passo 4
A solução geral do PVI é
Calculamos a derivada
Usamos as condições iniciais. Para
:
Resolvendo esse sistema linear, encontramos
e
.