Resolva o PVI a seguir: ( 1,0 \mathrm{pt} )
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=4 x^{2}, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=4

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' - y' - 2y = 4x^2,
com as condições
y(0)=1,\quad y'(0)=4.
Para resolver, vamos usar o método usual para EDO linear de segunda ordem: achar a solução complementar da equação homogênea e depois uma solução particular da parte não homogênea.

Passo 2

Calcular a solução da equação homogênea
y'' - y' - 2y = 0.
Usamos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0,
cuja resolução pela fórmula de Bhaskara dá
r = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{1 \pm 3}{2},
portanto r = 2 ou r = -1. Logo a solução complementar é
y_h(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x}.

Passo 3

Propor uma solução particular da forma polinomial de grau 2:
y_p(x) = A x^2 + B x + C.
Calculamos as derivadas
y_p'(x) = 2A x + B,
y_p''(x) = 2A,
e substituímos na equação original:
2A - (2A x + B) - 2(A x^2 + B x + C) = 4x^2.
Isso expande para
-2A x^2 + (-2A - 2B)x + (2A - B - 2C) = 4x^2.
Igualando coeficientes, obtemos o sistema
\begin{cases} -2A = 4,\\\\ -2A - 2B = 0,\\\\ 2A - B - 2C = 0. \end{cases}
Resolvendo, achamos A=-2, B=2, C=-3. Logo
y_p(x) = -2x^2 + 2x - 3.

Passo 4

A solução geral do PVI é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-x} - 2x^2 + 2x - 3.
Calculamos a derivada
y'(x) = 2C_1 e^{2x} - C_2 e^{-x} - 4x + 2.
Usamos as condições iniciais. Para x=0:
y(0) = C_1 + C_2 - 3 = 1 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = 4,
y'(0) = 2C_1 - C_2 + 2 = 4 \quad\Longrightarrow\quad 2C_1 - C_2 = 2.
Resolvendo esse sistema linear, encontramos C_1 = 2 e C_2 = 2.

Resposta

y(x) = 2e^{2x} + 2e^{-x} - 2x^2 + 2x - 3.

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