Resolva a equação diferencial exata utilizando o fator integrante adequado:
Passo 1
O exercício pede para resolver a equação diferencial
Passo 2
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Esse tema envolve equações diferenciais exatas e o uso de fator integrante quando não são exatas à primeira vista.
Passo 3
Vamos checar se a forma é exata calculando as derivadas parciais. Definindo
temos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=4y+2,\quad \frac{\partial N}{\partial x}=-(2y+1).
$$
Como , a equação não é exata.
Como
Passo 4
Procuramos um fator integrante
que dependa só de
. Usamos a condição
Aqui
que é função só de
. Então
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
e obtemos a forma exata
$$M̃(x,y)=\frac{2y{2}+2y+4x{2}}{x^{3}},\quad Ñ(x,y)=-\frac{2xy+x}{x{3}}=-\frac{2y+1}{x{2}}.
$$
Passo 6
Agora existe uma função potencial
tal que
$$\frac{\partial Φ}{\partial x}=M̃(x,y).
Φ(x,y)=\int\Bigl(\frac{2y{2}+2y}{x{3}}+\frac{4x{2}}{x{3}}\Bigr),dx
=-(y{2}+y)x{-2}+4\ln|x|+h(y).
=-(y{2}+y)x{-2}+4\ln|x|+h(y).
$$
Isso dá , logo
é constante.
Isso dá
Passo 7
A solução geral vem de
ou seja
$$-\frac{y{2}+y}{x{2}}+4\ln|x|=C.
$$
Podemos reorganizar escrevendo
Podemos reorganizar escrevendo
Passo 8
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