Resolva a equação diferencial exata utilizando o fator integrante adequado:
(2 y^2+2 y+4 x^2) d x-(2 x y+x) d y=0

Passo 1

O exercício pede para resolver a equação diferencial

Passo 2

block:
(2y^2+2y+4x^2),dx-(2xy+x),dy=0
Esse tema envolve equações diferenciais exatas e o uso de fator integrante quando não são exatas à primeira vista.

Passo 3

Vamos checar se a forma é exata calculando as derivadas parciais. Definindo
M(x,y)=2y^2+2y+4x^2, N(x,y)=-(2xy+x),
temos
$$\frac{\partial M}{\partial y}=4y+2,\quad \frac{\partial N}{\partial x}=-(2y+1).
$$
Como partial Mpartial y=4y+2, partial Npartial x=-(2y+1) , a equação não é exata.

Passo 4

Procuramos um fator integrante mu(x) que dependa só de x. Usamos a condição
1Nl(partial Mpartial y-partial Npartial xr)=f(x)
Aqui
(4y+2)-(-(2y+1))-(2xy+x)=6y+3-x(2y+1)=-3x
que é função só de x. Então
mu(x)=expl(integral -3x,dxr)=x^-3

Passo 5

Multiplicamos a equação original por x^-3 e obtemos a forma exata
$$M̃(x,y)=\frac{2y{2}+2y+4x{2}}{x^{3}},\quad Ñ(x,y)=-\frac{2xy+x}{x{3}}=-\frac{2y+1}{x{2}}.
$$

Passo 6

Agora existe uma função potencial Φ(x,y) tal que
$$\frac{\partial Φ}{\partial x}=M̃(x,y).
partial Φpartial x=M̃(x,y) çã
Φ(x,y)=\int\Bigl(\frac{2y{2}+2y}{x{3}}+\frac{4x{2}}{x{3}}\Bigr),dx
=-(y{2}+y)x{-2}+4\ln|x|+h(y).
x\frac{\partial Φ}{\partial y}=-(2y+1)x{-2}+h’(y)=Ñ(x,y)=-\frac{2y+1}{x{2}}.
$$
Isso dá Φ(x,y)=integrall(2y^2+2yx^3+4x^2x^3r),dx =-(y^2+y)x^-2+4ln|x|+h(y) , logo h(y) é constante.

Passo 7

A solução geral vem de
Φ(x,y)=C
ou seja
$$-\frac{y{2}+y}{x{2}}+4\ln|x|=C.
$$
Podemos reorganizar escrevendo

Passo 8

block:
y^2+yx^2-4ln|x|=C'

Resposta

y^2+yx^2-4ln|x|=C

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