Resolva a equação diferencial exata: (2 x+\operatorname{sen} y) d x+(x \cos y) d y=0
(a) y=\operatorname{sen}\left(\frac{c-x^{2}}{x}\right)
(b) y=\operatorname{sen}^{-1}\left(\frac{c-x^{2}}{x}\right)
(c) y=\operatorname{sen}\left(\frac{x^{2}-c}{x}\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
(2x+\operatorname{sen} y)\,dx + (x\cos y)\,dy = 0
e pede a solução geral. O conteúdo é de equações diferenciais exatas. Vamos identificar
M(x,y)=2x+\operatorname{sen} y,\quad N(x,y)=x\cos y
e verificar a condição de exatidão.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y} = \cos y,
\frac{\partial N}{\partial x} = \cos y.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\psi_x = M = 2x+\operatorname{sen} y.
Integramos em relação a x:
\psi(x,y)=\int(2x+\operatorname{sen} y)\,dx = x^2 + x\operatorname{sen} y + h(y),
onde h(y) é função de y a determinar.

Passo 4

Derivamos \psi em relação a y e igualamos a N:
\psi_y = x\cos y + h'(y) \stackrel!= N = x\cos y \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=0
Logo h(y)=\text{constante}. Chamando essa constante de zero dentro de \psi, temos a solução implícita.

Passo 5

A condição \psi(x,y)=C
x^2 + x\operatorname{sen} y = C \quad\Longrightarrow\quad \operatorname{sen} y = \frac{C - x^2}{x} \quad\Longrightarrow\quad y = \operatorname{sen}^{-1}\!\Bigl(\frac{C - x^2}{x}\Bigr).
Renomeando C para c, obtemos a forma final.

Resposta

(b) y=\operatorname{sen}^{-1}\Bigl(\tfrac{c-x^{2}}{x}\Bigr)

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