Resolva o problema de valor inicial (PVI): y^{\prime}=\frac{1+3 x^{2}}{3 y^{2}-6 y} \quad ; \quad y(0)=2.
(a) y^{3}-3 y^{2}=x^{3}+x-4
(b) y^{3}-3 y^{2}=x^{3}+x+8
(c) 3 y^{3}-y^{2}=2 x^{3}+x+4

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
y' = \frac{1 + 3x^2}{3y^2 - 6y},\quad y(0)=2.
Isso é uma equação diferencial separável. Vamos separar variáveis e integrar para achar a solução implícita.

Passo 2

Separe as variáveis multiplicando ambos os lados por (3y^2 - 6y)\,dx:
(3y^2 - 6y)\,dy = (1 + 3x^2)\,dx.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int (3y^2 - 6y)\,dy = \int (1 + 3x^2)\,dx.
No lado esquerdo:
\int 3y^2\,dy = y^3, \quad \int -6y\,dy = -3y^2,
então
\int (3y^2 - 6y)\,dy = y^3 -3y^2.
No lado direito:
\int 1\,dx = x, \quad \int 3x^2\,dx = x^3,
logo
\int (1 + 3x^2)\,dx = x + x^3 + C.
Portanto a solução geral implícita é
y^3 - 3y^2 = x^3 + x + C.

Passo 4

Use a condição inicial y(0)=2. Substituindo x=0 e y=2 em y^3 -3y^2 = x^3 + x + C, obtemos
2^3 - 3\cdot2^2 = 0 + 0 + C \quad\Longrightarrow\quad 8 - 12 = C \quad\Longrightarrow\quad C = -4.

Passo 5

Logo a solução implícita fica
y^3 - 3y^2 = x^3 + x - 4.
Isso coincide exatamente com a alternativa (a).

Resposta

(a) y^{3} - 3y^{2} = x^{3} + x - 4

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