Resolva a equação diferencial exata (PVI): \left(2 y^{2} x-3\right) d x+\left(2 y x^{2}+4\right) d y=0 \quad ; \quad y(-2)=0.
(a) x^{2} y-3 x+4 y^{2}=6
(b) 3 x^{2} y^{2}+3 x-4 y=-6
(c) x^{2} y^{2}-3 x+4 y=6

Passo 1

O enunciado pede resolver a equação diferencial exata
(2 y^{2} x - 3)\,dx + (2 y x^{2} + 4)\,dy = 0
com condição inicial y(-2)=0. O conteúdo aqui é “equações diferenciais exatas”: vamos verificar a exatidão e, em seguida, encontrar uma função potencial \varphi(x,y) cuja diferencial total seja zero.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = 2\,x\,y^{2} - 3, \qquad N(x,y) = 2\,x^{2}y + 4.
Para ser exata precisamos ter
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(2xy^{2}-3\bigr) = 4xy,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(2x^{2}y+4\bigr) = 4xy.
Como \partial M/\partial y = \partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \varphi(x,y) tal que
\frac{\partial \varphi}{\partial x} = M(x,y) \quad\text{e}\quad \frac{\partial \varphi}{\partial y} = N(x,y).
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\varphi(x,y) = \int (2xy^{2} - 3)\,dx = x^{2}y^{2} - 3x + h(y),
onde h(y) é função só de y. Agora obrigamos
\frac{\partial \varphi}{\partial y} = 2x^{2}y + h'(y) \overset{!}{=} 2x^{2}y + 4 \;\Longrightarrow\; h'(y) = 4 \;\Longrightarrow\; h(y) = 4y + C.
Logo
\varphi(x,y) = x^{2}y^{2} - 3x + 4y + C.
A solução geral implícita é
x^{2}y^{2} - 3x + 4y = D,
com D constante.

Passo 4

Usamos a condição inicial y(-2)=0. Substituindo x=-2 e y=0 em x^{2}y^{2} - 3x + 4y
(-2)^{2}\cdot0^{2} - 3(-2) + 4\cdot0 = 0 + 6 + 0 = 6,
logo D = 6. A solução particular fica
x^{2}y^{2} - 3x + 4y = 6.

Resposta

(c) x^{2}y^{2} - 3x + 4y = 6

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