Resolva a equação diferencial não-exata: 6 x y d x+\left(4 y+9 x^{2}\right) d y=0.
(a) x^{3} y^{2}+3 y^{4}=c
(b) 3 x^{2} y^{3}+y^{4}=c
(c) x^{2} y^{3}+3 y^{2}=c

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
6x\,y\,dx + \bigl(4y + 9x^2\bigr)\,dy = 0
que não é exata à primeira vista. O conteúdo aqui é método do fator integrante para tornar a equação exata.

Passo 2

Escrevemos
M(x,y) = 6x\,y, \quad N(x,y) = 4y + 9x^2
e testamos exatidão: \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y} = 6x \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x} = 18x
Como 6x \neq 18x, a equação não é exata.

Passo 3

Procuramos um fator integrante dependente só de y. Calculamos
\frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} = \frac{18x - 6x}{6x\,y} = \frac{12x}{6x\,y} = \frac{2}{y},
que depende apenas de y. Logo
\mu(y) = \exp\Bigl(\int \tfrac{2}{y}\,dy\Bigr) = \exp\bigl(2\ln y\bigr) = y^2.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por y^2:
6x\,y^3\,dx \;+\;\bigl(4y^3 + 9x^2y^2\bigr)\,dy = 0.
Chamemos
\widetilde M = 6x\,y^3, \quad \widetilde N = 4y^3 + 9x^2y^2.
Agora \partial\widetilde M/\partial y = 18x\,y^2
e \partial\widetilde N/\partial x = 18x\,y^2,
logo a equação é exata.

Passo 5

Buscamos uma função potencial \psi(x,y) tal que \psi_x = \widetilde M e \psi_y = \widetilde N.
Integramos \psi_x = 6x\,y^3 em x:
\psi(x,y) = \int 6x\,y^3\,dx = 3x^2y^3 + h(y).
Derivando em y:
\psi_y = 9x^2y^2 + h'(y) \overset!= 4y^3 + 9x^2y^2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = 4y^3 \;\Longrightarrow\; h(y) = y^4.
Então
\psi(x,y) = 3x^2y^3 + y^4 = C.

Resposta

(b) 3x^2y^3 + y^4 = c

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