Obtenha o que se pede.
Calcule a integral indefinida integral sen(7 x) cdot cos (3 x) d x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! A gente tem que calcular a integral indefinida de integral sin(7x) cdot cos(3x) , dx. Aqui, a gente vai usar conhecimentos de cálculo integral e identidades trigonométricas para simplificar a expressão e integrar passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica que ajuda a transformar o produto de seno e cosseno em uma soma. A identidade que vamos usar é:
sin(a) cdot cos(b) = 12 [sin(a + b) + sin(a - b)]
Essa fórmula facilita bastante a integração porque transforma um produto complicado em termos mais simples.

Passo 3

Aplicando a identidade que vimos, substituímos na nossa integral:
integral sin(7x) cdot cos(3x) , dx = integral 12 [sin(7x + 3x) + sin(7x - 3x)] , dx
Simplificando os argumentos das funções trigonométricas:
= 12 integral [sin(10x) + sin(4x)] , dx

Passo 4

Agora, vamos integrar cada termo separadamente. Sabemos que:
integral sin(kx) , dx = -1k cos(kx) + C
Aplicando essa regra:
12 ( integral sin(10x) , dx + integral sin(4x) , dx ) = 12 ( -110 cos(10x) - 14 cos(4x) ) + C

Resposta

Então, juntando tudo, a integral é:
integral sin(7x) cdot cos(3x) , dx = -120 cos(10x) - 18 cos(4x) + C

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