(a) Resolva a equação diferencial y^prime=x^3 y^2. Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
y(0)=4

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
y' = x^3,y^2,
que é do tipo separável. Vamos usar separação de variáveis para obter a família geral de soluções e depois aplicar a condição inicial y(0)=4. Também faremos um esboço qualitativo da família de soluções, mostrando onde ocorrem assíntotas verticais (blow-up).

Passo 2

Separe as variáveis escrevendo
dyy^2 = x^3,dx
Agora integre ambos os lados:
integral dyy^2 = integral x^3,dx
Sabendo que integral y^-2dy = -y^-1 e integral x^3dx = tfracx^44, obtemos
-,1y = x^44 + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 3

Reescrevendo para isolar y, temos
1y = -x^44 - C = -l(x^44 + Cr) Longrightarrow y(x) = 1-,l(tfracx^44 + Cr) = 1-,tfracx^44 - C
Para simplificar, defina C' = -4C. Então
y(x) = 4,C' - x^4,
Esta é a família geral de soluções parametrizada por C'.

Passo 4

Esboço qualitativo da família y(x)=4/(C'-x^4):
Cada curva tem assíntotas verticais quando x^4 = C', ou seja, em
x = pm (C')^1/4
No ponto x=0, y(0)=4/C', de modo que diferentes valores de C' deslocam o valor inicial em y. Para C'>0, as soluções estão definidas em |x|<(C')^1/4 e |x|>(C')^1/4, com salto infinito na fronteira. Gráficos típicos para C'>0 são curvas que partem de y(0)=4/C', crescem ou decrescem e têm blow-up em x=pm (C')^1/4.

Passo 5

Agora aplicamos a condição inicial y(0)=4. Temos
y(0)=4C' - 0^4 = 4C' = 4 Longrightarrow C' = 1
Logo a solução particular é
y(x) = 41 - x^4
O domínio máximo de definição é o maior intervalo contendo 0 em que o denominador não se anula, ou seja 1 - x^4neq0. Assim o intervalo máximo é
(-1,,1)

Resposta

y(x) = 41 - x^4, definida em (-1,1)

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