(a) Resolva a equação diferencial
. Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial
que é do tipo separável. Vamos usar separação de variáveis para obter a família geral de soluções e depois aplicar a condição inicial
. Também faremos um esboço qualitativo da família de soluções, mostrando onde ocorrem assíntotas verticais (blow-up).
Passo 2
Separe as variáveis escrevendo
Agora integre ambos os lados:
Sabendo que
e
, obtemos
onde
é a constante de integração.
Passo 3
Reescrevendo para isolar
, temos
Para simplificar, defina
. Então
Esta é a família geral de soluções parametrizada por
.
Passo 4
Esboço qualitativo da família
:
Cada curva tem assíntotas verticais quando , ou seja, em
Cada curva tem assíntotas verticais quando
No ponto
,
, de modo que diferentes valores de
deslocam o valor inicial em
. Para
, as soluções estão definidas em
e
, com salto infinito na fronteira. Gráficos típicos para
são curvas que partem de
, crescem ou decrescem e têm blow-up em
.
Passo 5
Agora aplicamos a condição inicial
. Temos
Logo a solução particular é
O domínio máximo de definição é o maior intervalo contendo
em que o denominador não se anula, ou seja
. Assim o intervalo máximo é