(a) Resolva a equação diferencial y^prime=x^3 y^2. Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
y(-raiz3)=-12

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
y' = x^3 y^2
e pede (1) resolver por separação de variáveis, (2) esboçar qualitativamente a família de soluções, e (3) para a condição inicial
y(-raiz3) = -tfrac12
encontrar a expressão particular y(x) e o maior intervalo de definição que contenha x0=-raiz3. Vamos precisar de integração em variáveis separáveis e análise de singuralidades da solução.

Passo 2

Separamos as variáveis:
dyy^2 = x^3,dx
Integramos ambos os lados:
integral dyy^2 = integral x^3,dx Longrightarrow -,1y = x^44 + C,
onde C é constante de integração.

Passo 3

Isolando y obtemos a solução geral em forma explícita:
y(x) = -,1tfracx^44 + C
Essa família tem assíntota horizontal y=0 quando xtopminfty e assíntotas verticais nos pontos em que
tfracx^44 + C = 0 ;Long<=ftrightarrow; x^4 = -4C
Cada valor de C desloca a(s) assíntota(s) vertical(is). No plano xy, os gráficos são ramos que não se cruzam e que mudam de sinal conforme o denominador.

Passo 4

Aplicamos a condição inicial y(-raiz3)=-tfrac12. Substituindo em
-,1y(-raiz3) = -,1-tfrac12 = 2
e em
x^44+Cg|x=-raiz3 = (-raiz3)^44 + C = 94 + C,
temos
2 = 94 + C Longrightarrow C = 2 - 94 = -14

Passo 5

Assim a solução particular é
y(x) = -,1tfracx^44 - tfrac14 = -,1tfracx^4-14 = -,4x^4-1
Os pontos singulares (assíntotas verticais) são as raízes de x^4-1=0, ou seja x=pm1. Como o ponto inicial x0=-raiz3approx -1,732 fica à esquerda de -1, o maior intervalo de definição que contenha -raiz3 e onde a solução seja contínua é
(-infty,,-1)

Resposta

A solução particular é
y(x) = -,4x^4-1,
definida no intervalo máximo
xin(-infty,,-1)

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