(a) Resolva a equação diferencial . Faça um esboço da família das soluções.
Encontre a expressão e o intervalo máximo de definição das soluções correspondentes a cada uma das condições iniciais abaixo:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede (1) resolver por separação de variáveis, (2) esboçar qualitativamente a família de soluções, e (3) para a condição inicial
encontrar a expressão particular e o maior intervalo de definição que contenha . Vamos precisar de integração em variáveis separáveis e análise de singuralidades da solução.
Passo 2
Separamos as variáveis:
Integramos ambos os lados:
onde é constante de integração.
Passo 3
Isolando obtemos a solução geral em forma explícita:
Essa família tem assíntota horizontal quando e assíntotas verticais nos pontos em que
Cada valor de desloca a(s) assíntota(s) vertical(is). No plano , os gráficos são ramos que não se cruzam e que mudam de sinal conforme o denominador.
Os pontos singulares (assíntotas verticais) são as raízes de x^4-1=0, ou seja x=pm1. Como o ponto inicial x0=-raiz3approx -1,732 fica à esquerda de -1, o maior intervalo de definição que contenha -raiz3 e onde a solução seja contínua é