Resolva a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{e^{2 y}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{e^{2 y}}
e pede a solução geral y(x). Não há condição inicial fornecida, portanto procuraremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos manipular a equação para deixar todos os termos que dependem de y de um lado e todos os termos que dependem de x do outro — isto permite integrar facilmente. A equação é
\frac{d y}{d x}=(x+1)e^{-2y}.
Multiplicando ambos os lados por e^{2y} e por dx (operações válidas quando y é diferenciável), obtemos a forma separada
e^{2y}\,dy=(x+1)\,dx.

Passo 3

Agora integramos os dois lados. Escrevemos a igualdade de integrais sem esquecer a constante de integração:
\int e^{2y}\,dy=\int (x+1)\,dx + C,
onde C é uma constante de integração (vou usar uma única constante no final, ajustando-a conforme necessário).

Passo 4

Calculo da integral à esquerda. Para integrar e^{2y} em relação a y observe que a derivada de e^{2y} é 2e^{2y}. Assim
\int e^{2y}\,dy=\frac{1}{2}e^{2y}+C_1,
onde C_1 é uma constante (que será combinada com a constante do outro lado).

Passo 5

Calculo da integral à direita. A integral de x+1 em relação a x é a soma das integrais:
\int (x+1)\,dx=\frac{1}{2}x^{2}+x+C_2,
com C_2 constante.

Passo 6

Igualando as duas integrais e juntando as constantes numa só constante C (por exemplo C= C_2-C_1), obtemos
\frac{1}{2}e^{2y}=\frac{1}{2}x^{2}+x+C.
Multiplicando por 2 para simplificar,
e^{2y}=x^{2}+2x+C_1,
onde C_1=2C é uma constante arbitrária real.

Passo 7

Tomando logaritmo natural para isolar y (lembrando que e^{2y}>0, então o argumento do log deve ser positivo), temos
2y=\ln\bigl(x^{2}+2x+C_1\bigr).
Logo
y=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2x+C_1\bigr),
com a condição de domínio x^{2}+2x+C_1>0 (essa condição determina para quais x a solução é válida, dependendo do valor da constante C_1).

Passo 8

Observações didáticas e checagem rápida:
  • A constante C_1 é arbitrária real; a solução existe nos intervalos de x onde x^{2}+2x+C_1>0.
  • Não existe solução constante y= const válida para todos os x, porque se y fosse constante a derivada à esquerda seria zero e a direita seria (x+1)e^{-2y}, que não é zero para todo x.
  • Exemplo concreto: escolhendo C_1=1 obtém-se y=\tfrac{1}{2}\ln\bigl((x+1)^{2}\bigr)=\ln|x+1|, que de fato satisfaz a equação (verificação rápida: \frac{d}{dx}\ln|x+1|=\tfrac{1}{x+1} e a RHS fica (x+1)/e^{2\ln|x+1|}=(x+1)/(x+1)^{2}=\tfrac{1}{x+1}).

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2x+C\bigr), onde C é constante arbitrária e a solução vale para x tais que x^{2}+2x+C>0.

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