Resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede a solução geral
. Não há condição inicial fornecida, portanto procuraremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos manipular a equação para deixar todos os termos que dependem de
de um lado e todos os termos que dependem de
do outro — isto permite integrar facilmente. A equação é
Multiplicando ambos os lados por
e por
(operações válidas quando
é diferenciável), obtemos a forma separada
Passo 3
Agora integramos os dois lados. Escrevemos a igualdade de integrais sem esquecer a constante de integração:
onde
é uma constante de integração (vou usar uma única constante no final, ajustando-a conforme necessário).
Passo 4
Calculo da integral à esquerda. Para integrar
em relação a
observe que a derivada de
é
. Assim
onde
é uma constante (que será combinada com a constante do outro lado).
Passo 5
Calculo da integral à direita. A integral de
em relação a
é a soma das integrais:
com
constante.
Passo 6
Igualando as duas integrais e juntando as constantes numa só constante
(por exemplo
), obtemos
Multiplicando por
para simplificar,
onde
é uma constante arbitrária real.
Passo 7
Tomando logaritmo natural para isolar
(lembrando que
, então o argumento do log deve ser positivo), temos
Logo
com a condição de domínio
(essa condição determina para quais
a solução é válida, dependendo do valor da constante
).
Passo 8
Observações didáticas e checagem rápida:
- A constante
é arbitrária real; a solução existe nos intervalos de onde . - Não existe solução constante
const válida para todos os , porque se fosse constante a derivada à esquerda seria zero e a direita seria , que não é zero para todo . - Exemplo concreto: escolhendo
obtém-se , que de fato satisfaz a equação (verificação rápida: e a RHS fica ).