Resolva a equação diferencial.
\frac{d y}{d x}=x \sqrt{y}

Passo 1

O enunciado pede para “resolver a equação diferencial”
\frac{d y}{d x}=x\sqrt{y}.
Informações dadas:
\frac{d y}{d x}=x\sqrt{y}
é a única relação fornecida. A incógnita é a função y(x). Não foi dada condição inicial, portanto queremos a solução geral (com constante arbitrária). Note que há uma raiz quadrada \sqrt{y}, então devemos prestar atenção ao caso y=0 e ao domínio onde \sqrt{y} está definida.

Passo 2

Verificar soluções constantes óbvias (sinais de esperança!): suponha y constante, ou seja y(x)\equiv y_0. Então dy/dx=0. Substituindo na equação,
0 = x\sqrt{y_0}
para todo x. Para que isso seja verdadeiro para todo x é necessário \sqrt{y_0}=0, logo y_0=0. Conclusão: y\equiv 0 é solução (chamada solução singular ou trivial).

Passo 3

Agora buscamos soluções não-constantes. Sempre tenha cuidado: ao dividir por \sqrt{y} precisamos garantir \sqrt{y}\neq 0, ou seja y>0. Então consideramos y(x)>0 numa certa região e fazemos separação de variáveis. Escrevemos
\frac{dy}{dx}=x\,\sqrt{y}\quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{\sqrt{y}}\,dy = x\,dx.
Aqui trocamos a escrita em derivada por uma forma separável: todas as quantidades em y do lado esquerdo e todas as quantidades em x do lado direito.

Passo 4

Integramos ambos os lados. Antes, explicação rápida da integral que vamos usar: a regra de potência diz que, para n\neq -1,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
No nosso caso n=-\tfrac12, então n+1=\tfrac12 e a integral fica 2y^{1/2}. Procedendo,
\int \frac{1}{\sqrt{y}}\,dy = \int x\,dx
resulta em
2\sqrt{y} = \frac{x^2}{2} + C,
onde C é a constante de integração. (Expliquei: a integral do lado esquerdo é 2\sqrt{y} e a do direito é x^2/2.)

Passo 5

Isolamos \sqrt{y} e obtemos
\sqrt{y} = \frac{x^2}{4} + \frac{C}{2}.
Como a constante C é arbitrária, podemos renomeá-la para simplificar: defina A=\dfrac{C}{2} (aqui A\in\mathbb{R}). Então
\sqrt{y} = \frac{x^2}{4} + A.
Elevando ao quadrado (lembrando que \sqrt{y}\ge 0 por definição),
y = \left(\frac{x^2}{4} + A\right)^2.
Esta é a família de soluções obtida pela separação.

Passo 6

Observações sobre domínio e sinais (importante para a prova): a dedução exigiu \sqrt{y} bem definida e, quando escrevemos \sqrt{y} = \dfrac{x^2}{4}+A, o lado direito precisa ser não negativo para que a igualdade com a raiz faça sentido. Logo a função dada por y(x)=\big(\dfrac{x^2}{4}+A\big)^2 resolve a EDO em qualquer intervalo onde \dfrac{x^2}{4}+A\ge 0. No entanto, ao escrever apenas a forma quadrática y=(\dfrac{x^2}{4}+A)^2 já capturamos as soluções reais (lembrando que a solução identicamente zero já foi apontada no Passo 2). Em resumo, as soluções reais são a solução trivial y\equiv 0 e a família com constante A\in\mathbb{R}.

Passo 7

Dica prática para a prova: ao ver dy/dx = g(x)h(y), tente sempre separar como \frac{1}{h(y)}dy = g(x)dx (se h(y)\neq 0). Integre cada lado usando a regra de potência quando aparecer y^n. Não esqueça de checar soluções constantes que aparecem quando você divide por termos que podem ser zero (aqui y=0 foi esse caso). Respire fundo, faça as divisões e integrais com calma — funciona bem!

Resposta

y\equiv 0
y=\left(\dfrac{x^2}{4}+C\right)^2,\quad C\in\mathbb{R}

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