Resolva a equação diferencial.
Passo 1
O enunciado pede para “resolver a equação diferencial”
Informações dadas:
é a única relação fornecida. A incógnita é a função
. Não foi dada condição inicial, portanto queremos a solução geral (com constante arbitrária). Note que há uma raiz quadrada
, então devemos prestar atenção ao caso
e ao domínio onde
está definida.
Passo 2
Verificar soluções constantes óbvias (sinais de esperança!): suponha
constante, ou seja
. Então
. Substituindo na equação,
para todo
. Para que isso seja verdadeiro para todo
é necessário
, logo
. Conclusão:
é solução (chamada solução singular ou trivial).
Passo 3
Agora buscamos soluções não-constantes. Sempre tenha cuidado: ao dividir por
precisamos garantir
, ou seja
. Então consideramos
numa certa região e fazemos separação de variáveis. Escrevemos
Aqui trocamos a escrita em derivada por uma forma separável: todas as quantidades em
do lado esquerdo e todas as quantidades em
do lado direito.
Passo 4
Integramos ambos os lados. Antes, explicação rápida da integral que vamos usar: a regra de potência diz que, para
,
No nosso caso
, então
e a integral fica
. Procedendo,
resulta em
onde
é a constante de integração. (Expliquei: a integral do lado esquerdo é
e a do direito é
.)
Passo 5
Isolamos
e obtemos
Como a constante
é arbitrária, podemos renomeá-la para simplificar: defina
(aqui
). Então
Elevando ao quadrado (lembrando que
por definição),
Esta é a família de soluções obtida pela separação.
Passo 6
Observações sobre domínio e sinais (importante para a prova): a dedução exigiu
bem definida e, quando escrevemos
, o lado direito precisa ser não negativo para que a igualdade com a raiz faça sentido. Logo a função dada por
resolve a EDO em qualquer intervalo onde
. No entanto, ao escrever apenas a forma quadrática
já capturamos as soluções reais (lembrando que a solução identicamente zero já foi apontada no Passo 2). Em resumo, as soluções reais são a solução trivial
e a família com constante
.
Passo 7
Dica prática para a prova: ao ver
, tente sempre separar como
(se
). Integre cada lado usando a regra de potência quando aparecer
. Não esqueça de checar soluções constantes que aparecem quando você divide por termos que podem ser zero (aqui
foi esse caso). Respire fundo, faça as divisões e integrais com calma — funciona bem!