Resolva o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{l} \frac{d y}{d t}+y=e^{2 t} \\ y(0)=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de primeira ordem \frac{dy}{dt} + y = e^{2t}
com condição inicial y(0)=2. Vamos usar o método do fator integrante para resolver.

Passo 2

Calculamos o fator integrante
\mu(t) = e^{\int 1\,dt} = e^{t}.
Multiplicando a equação original por \mu(t), o lado esquerdo se transforma em derivada de produto.

Passo 3

Multiplicando, obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(y(t)\,e^{t}\bigr) = e^{t}\,e^{2t} = e^{3t}.
Integrando ambos os lados em relação a t, resulta
y(t)\,e^{t} = \int e^{3t}\,dt + C = \frac{1}{3}e^{3t} + C.

Passo 4

Isolando y(t), temos a solução geral
y(t) = \frac{1}{3}e^{2t} + C\,e^{-t}.

Passo 5

Impondo a condição inicial y(0)=2, obtém-se
2 = \frac{1}{3} + C \;\Longrightarrow\; C = \frac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle y(t)=\frac{1}{3}e^{2t}+\frac{5}{3}e^{-t}.

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