Resolva as equações diferenciais
(b) x y^{\prime}+y-y^{2}=0.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y' + y - y^2 = 0,
onde y'=dy/dx. É uma equação de primeira ordem em y(x) que podemos tratar por separação de variáveis.

Passo 2

Reescrevendo em forma de derivada isolada, temos
y' = \frac{y^2 - y}{x}
e, em diferencial,
\frac{dy}{y(y-1)} = \frac{dx}{x}.

Passo 3

Para integrar o lado esquerdo, fazemos a decomposição em frações parciais:
\frac{1}{y(y-1)} = \frac{1}{y-1} - \frac{1}{y}.

Passo 4

Agora integramos ambos os lados:
\int\!\Bigl(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\Bigr)\,dy \;=\; \int\!\frac{1}{x}\,dx
que resulta em
\ln\Bigl|\frac{y-1}{y}\Bigr| = \ln|x| + C,
onde C é constante de integração.

Passo 5

Exponenciando e absorvendo sinais e factor constantes numa nova constante K, obtemos
\frac{y-1}{y} = K\,x.

Passo 6

Resolvendo para y:
y - 1 = Kx\,y
y\,(1 - Kx) = 1
y(x) = \frac{1}{1 - Kx}.

Passo 7

Além dessa família geral, as soluções constantes que também satisfazem a equação original são
y(x)=0 \quad\text{e}\quad y(x)=1.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = \frac{1}{1 - Kx},
onde K é constante arbitrária, e existem ainda as soluções singulares
y(x)=0 \quad\text{e}\quad y(x)=1.

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