Resolva a equação diferencial.
(h)
(h)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede para resolver — ou seja, encontrar as funções
que satisfazem essa relação. Informações relevantes fornecidas:
- A variável independente é
e a dependente é . - O lado direito é o produto de uma função de
, , por uma função de , . - Não foi dada condição inicial, então procuramos a família geral de soluções contendo uma constante arbitrária.
Passo 2
Vamos separar as variáveis (explicando bem o que isso significa): queremos rearranjar a equação para ter todos os termos com
junto de
e todos os termos com
junto de
. Tratar
como diferencial nos permite escrever:
Isso é apenas um método para transformar a equação diferencial numa igualdade entre diferenciais que podemos integrar; formalmente funciona porque a equação original define uma relação entre as derivadas que é multiplicativa em funções separáveis de
e
.
Passo 3
Agora integrarmos ambos os lados. Vou explicar cada integral:
- A integral
é conhecida: a derivada da função
é
. Logo essa integral vale
mais uma constante.
- A integral
é direta: trata-se da primitiva de
, que é
(pois
).
Fazendo as integrais:
onde
é a constante de integração resultante.
Passo 4
Podemos simplificar a constante: em integrais separadas normalmente aparecem duas constantes (uma em cada lado), mas elas se combinam numa única constante arbitrária. Então escrevemos
com
.
Passo 5
Para obter
explicitamente aplicamos a função tangente (inversa da
) aos dois lados. Lembre que
para valores de
reais. Assim:
Isso nos dá a família geral de soluções explícitas. Aqui
é uma constante real arbitrária que desloca a fase da tangente.
Passo 6
Comentários importantes para a prova (que ajudam a usar a solução corretamente):
- Não existe solução constante
para todos os , porque isso exigiria para todo , o que não é possível (já que ). Portanto a família encontrada é a família completa de soluções não-constantes. - Domínio: cada solução
está definida apenas onde o argumento não atinge os pontos (com ), pois a tangente tem descontinuidades nesses pontos. Na prática, cada solução é válida em intervalos de que não contenham essas singularidades.
Passo 7
Resumo final do procedimento para a prova (rápido passo a passo que você pode reproduzir):
- Verifique que a equação é separável e escreva
. - Integre ambos os lados:
. - Inverse a
para achar : .
Repita esses três passos na prova e cite a questão do domínio se pedirem intervalo de validade.