Resolva a equação diferencial.
(h) \frac{d y}{d x}=2 x\left(y^{2}+1\right)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y}{d x}=2x\bigl(y^{2}+1\bigr)
e pede para resolver — ou seja, encontrar as funções y(x) que satisfazem essa relação. Informações relevantes fornecidas:
  • A variável independente é x e a dependente é y.
  • O lado direito é o produto de uma função de x, 2x, por uma função de y, \bigl(y^{2}+1\bigr).
  • Não foi dada condição inicial, então procuramos a família geral de soluções contendo uma constante arbitrária.

Passo 2

Vamos separar as variáveis (explicando bem o que isso significa): queremos rearranjar a equação para ter todos os termos com y junto de dy e todos os termos com x junto de dx. Tratar \frac{dy}{dx} como diferencial nos permite escrever:
\frac{dy}{y^{2}+1}=2x\,dx.
Isso é apenas um método para transformar a equação diferencial numa igualdade entre diferenciais que podemos integrar; formalmente funciona porque a equação original define uma relação entre as derivadas que é multiplicativa em funções separáveis de x e y.

Passo 3

Agora integrarmos ambos os lados. Vou explicar cada integral:
  • A integral
\int \frac{dy}{y^{2}+1}
é conhecida: a derivada da função \arctan(y) é \frac{1}{1+y^{2}}. Logo essa integral vale \arctan(y) mais uma constante.
  • A integral
\int 2x\,dx
é direta: trata-se da primitiva de 2x, que é x^{2} (pois \frac{d}{dx}x^{2}=2x).
Fazendo as integrais:
\int \frac{dy}{y^{2}+1}=\int 2x\,dx
\Rightarrow \arctan(y)=x^{2}+C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração resultante.

Passo 4

Podemos simplificar a constante: em integrais separadas normalmente aparecem duas constantes (uma em cada lado), mas elas se combinam numa única constante arbitrária. Então escrevemos
\arctan(y)=x^{2}+C,
com C\in\mathbb{R}.

Passo 5

Para obter y explicitamente aplicamos a função tangente (inversa da \arctan) aos dois lados. Lembre que \tan(\arctan(y))=y para valores de y reais. Assim:
y=\tan\bigl(x^{2}+C\bigr).
Isso nos dá a família geral de soluções explícitas. Aqui C é uma constante real arbitrária que desloca a fase da tangente.

Passo 6

Comentários importantes para a prova (que ajudam a usar a solução corretamente):
  • Não existe solução constante y(x)=y_{0} para todos os x, porque isso exigiria 0=2x(y_{0}^{2}+1) para todo x, o que não é possível (já que y_{0}^{2}+1>0). Portanto a família encontrada é a família completa de soluções não-constantes.
  • Domínio: cada solução y(x)=\tan(x^{2}+C) está definida apenas onde o argumento x^{2}+C não atinge os pontos \frac{\pi}{2}+\pi k (com k\in\mathbb{Z}), pois a tangente tem descontinuidades nesses pontos. Na prática, cada solução é válida em intervalos de x que não contenham essas singularidades.

Passo 7

Resumo final do procedimento para a prova (rápido passo a passo que você pode reproduzir):
  1. Verifique que a equação é separável e escreva \frac{dy}{y^{2}+1}=2x\,dx.
  2. Integre ambos os lados: \arctan(y)=x^{2}+C.
  3. Inverse a \arctan para achar y: y=\tan(x^{2}+C).
    Repita esses três passos na prova e cite a questão do domínio se pedirem intervalo de validade.

Resposta

y(x)=\tan\bigl(x^{2}+C\bigr), com C\in\mathbb{R}.

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