Resolva a equação diferencial.
(g)
(g)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
onde
. A pergunta é: encontrar a solução geral
dessa equação. As informações relevantes que tenho são apenas a própria equação (sem condição inicial), portanto preciso obter a solução geral com uma constante arbitrária de integração.
Passo 2
Vamos escolher um método: observar a equação e ver se dá para separar as variáveis
e
. Isso é útil porque quando a equação pode ser escrita com um lado dependendo só de
multiplicando
e o outro lado dependendo só de
, conseguimos integrar cada lado separadamente. A equação atual é exatamente desse tipo: o fator
depende só de
e o lado direito
depende só de
. Portanto o método apropriado é separar variáveis e integrar.
Passo 3
Separe as variáveis trocando os termos para colocar
com funções de
e
com funções de
:
Agora ambas as partes estão prontas para integração: integrar o lado esquerdo em
e o direito em
.
Passo 4
Integre os dois lados. Vou explicar cada integral com calma.
Integral do lado esquerdo:
A primitiva de
é
(porque a derivada de
é
) e a primitiva de
é
. Logo,
Explicando de forma didática: a operação
resulta em
porque diferenciando
volta-se para
; e
porque a derivada de
é
.
Integral do lado direito:
A primitiva de
é
e a primitiva de
é
. Então
Passo 5
Juntando as primitivas e incluindo a constante de integração
, obtemos a relação implícita
onde
é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral em forma implícita. Em muitas provas essa forma implícita é perfeitamente aceita.
Passo 6
Se você quiser uma forma explícita
(isto é, isolando
), a equação
não é resolvível por funções elementares usuais (não dá para isolar
usando só exponenciais, logaritmos, polinômios, trigonometria, etc.). Porém existe uma expressão usando a função de Lambert
. Vou mostrar a manipulação que leva a essa forma:
Defina
. Então
e a equação
torna-se
Multiplicando ambos os lados por
obtemos
Agora, usando a definição da função
(a solução de
é
), podemos transformar a equação. Reescrevendo:
Aplicando
aos dois lados (lembrando que
pode ter várias ramificações) obtemos
Portanto
e como
, chega-se à solução explícita
ou seja
Aviso importante: a função
tem ramos (normalmente denotados
), então a escolha do ramo adequado depende de condições iniciais ou do intervalo em que você deseja a solução.
Passo 7
Verificação rápida (como prova de que fizemos certo): derivando implicitamente a relação
em relação a
,
que é exatamente a equação original. Isso confirma que a solução implícita está correta.