Resolva a equação diferencial.
(g) \left(e^{y}-1\right) y^{\prime}=2+\cos x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\left(e^{y}-1\right) y' = 2+\cos x,
onde y'= \dfrac{dy}{dx}. A pergunta é: encontrar a solução geral y(x) dessa equação. As informações relevantes que tenho são apenas a própria equação (sem condição inicial), portanto preciso obter a solução geral com uma constante arbitrária de integração.

Passo 2

Vamos escolher um método: observar a equação e ver se dá para separar as variáveis x e y. Isso é útil porque quando a equação pode ser escrita com um lado dependendo só de y multiplicando dy/dx e o outro lado dependendo só de x, conseguimos integrar cada lado separadamente. A equação atual é exatamente desse tipo: o fator \left(e^{y}-1\right) depende só de y e o lado direito 2+\cos x depende só de x. Portanto o método apropriado é separar variáveis e integrar.

Passo 3

Separe as variáveis trocando os termos para colocar dy com funções de y e dx com funções de x:
\left(e^{y}-1\right)\frac{dy}{dx}=2+\cos x
\Rightarrow \left(e^{y}-1\right)dy = \left(2+\cos x\right)dx.
Agora ambas as partes estão prontas para integração: integrar o lado esquerdo em y e o direito em x.

Passo 4

Integre os dois lados. Vou explicar cada integral com calma.
Integral do lado esquerdo:
\int \left(e^{y}-1\right)dy = \int e^{y}\,dy - \int 1\,dy.
A primitiva de e^{y} é e^{y} (porque a derivada de e^{y} é e^{y}) e a primitiva de 1 é y. Logo,
\int \left(e^{y}-1\right)dy = e^{y}-y.
Explicando de forma didática: a operação \int e^{y}dy resulta em e^{y} porque diferenciando e^{y} volta-se para e^{y}; e \int 1\,dy = y porque a derivada de y é 1.
Integral do lado direito:
\int \left(2+\cos x\right)dx = \int 2\,dx + \int \cos x\,dx.
A primitiva de 2 é 2x e a primitiva de \cos x é \sin x. Então
\int \left(2+\cos x\right)dx = 2x+\sin x.

Passo 5

Juntando as primitivas e incluindo a constante de integração C, obtemos a relação implícita
e^{y}-y = 2x+\sin x + C,
onde C é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral em forma implícita. Em muitas provas essa forma implícita é perfeitamente aceita.

Passo 6

Se você quiser uma forma explícita y=y(x) (isto é, isolando y), a equação
e^{y}-y = A(x),\qquad\text{onde}\quad A(x)=2x+\sin x + C,
não é resolvível por funções elementares usuais (não dá para isolar y usando só exponenciais, logaritmos, polinômios, trigonometria, etc.). Porém existe uma expressão usando a função de Lambert W. Vou mostrar a manipulação que leva a essa forma:
Defina z = A(x)+y. Então y = z - A(x) e a equação e^{y} = A(x)+y torna-se
e^{z-A} = z \quad\Rightarrow\quad e^{-A} e^{z} = z.
Multiplicando ambos os lados por e^{-z} obtemos
z e^{-z} = e^{-A}.
Agora, usando a definição da função W (a solução de w e^{w}=u é w=W(u)), podemos transformar a equação. Reescrevendo:
(-z) e^{-z} = -e^{-A}.
Aplicando W aos dois lados (lembrando que W pode ter várias ramificações) obtemos
- z = W\!\bigl(-e^{-A}\bigr).
Portanto
z = -W\!\bigl(-e^{-A}\bigr),
e como y = z - A, chega-se à solução explícita
y(x) = -A(x) - W\!\bigl(-e^{-A(x)}\bigr),
ou seja
y(x) = -\bigl(2x+\sin x + C\bigr) - W\!\left(-\exp\bigl(-(2x+\sin x + C)\bigr)\right).
Aviso importante: a função W tem ramos (normalmente denotados W_0, W_{-1},\dots), então a escolha do ramo adequado depende de condições iniciais ou do intervalo em que você deseja a solução.

Passo 7

Verificação rápida (como prova de que fizemos certo): derivando implicitamente a relação e^{y}-y = 2x+\sin x + C em relação a x,
e^{y}\,y' - y' = 2+\cos x,
\Rightarrow (e^{y}-1)\,y' = 2+\cos x,
que é exatamente a equação original. Isso confirma que a solução implícita está correta.

Resposta

e^{y}-y = 2x+\sin x + C
y(x) = -\bigl(2x+\sin x + C\bigr) - W\!\left(-\exp\bigl(-(2x+\sin x + C)\bigr)\right) (usando a função de Lambert W, com escolha de ramo conforme condição inicial)

Exercícios relacionados