Resolva a equação diferencial.
(d) x y^{\prime}=y+3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x\,y' = y + 3.
As informações que temos são:
  • A incógnita é a função \,y(x)\,.
  • A equação relaciona \,y' (derivada de \,y em relação a \,x) com \,y e \,x.
  • Note que há um fator \,x multiplicando \,y', portanto o ponto \,x=0 precisa ser observado com cuidado (dividir por \,x exige \,x\neq0).
    A pergunta implícita é: encontrar a solução geral \,y(x) da equação diferencial.

Passo 2

Vamos reescrever a equação para colocá‑la numa forma padrão. Subtraindo \,y de ambos os lados obtemos
x\,y' - y = 3.
Agora dividimos por \,x (aqui assumimos temporariamente \,x\neq0) para deixar o coeficiente de \,y' igual a 1:
y' - \frac{1}{x}\,y = \frac{3}{x}.
Dividir por \,x facilita o uso de um método padrão para equações lineares de primeira ordem.

Passo 3

Apresento o método que usarei (explico como ele funciona): uma equação linear de primeira ordem tem a forma
y' + P(x)\,y = Q(x),
onde \,P(x) e \,Q(x) são funções conhecidas de \,x. Se multiplicarmos a equação por um fator integrante \,\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}, então o lado esquerdo vira a derivada de \,\mu(x)\,y:
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)\,y\big)=\mu(x)\,Q(x).
Isso transforma a equação diferencial numa integral simples para \,\mu(x)\,y. Aqui, comparando com a equação obtida em Passo 2 , identificamos
P(x) = -\frac{1}{x},\qquad Q(x)=\frac{3}{x}.

Passo 4

Calculamos o fator integrante \,\mu(x):
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(-\ln|x|\big)=\frac{1}{|x|}.
Para resolver explicitamente numa única expressão, trabalhamos em intervalos onde o sinal de \,x é fixo (por exemplo \,x>0 ou \,x<0), e aí podemos tomar \,\mu(x)=\frac{1}{x} (o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração depois). Assim usaremos \,\mu(x)=\frac{1}{x}.

Passo 5

Multiplicando a equação y' - \frac{1}{x}y = \frac{3}{x} por \,\mu(x)=\frac{1}{x} obtemos
\frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y = \frac{3}{x^2}.
O lado esquerdo é a derivada de \,\dfrac{y}{x}, pois
\left(\frac{y}{x}\right)' = \frac{x\,y' - y}{x^2} = \frac{1}{x}y' - \frac{1}{x^2}y.
Portanto a equação fica
\left(\frac{y}{x}\right)' = \frac{3}{x^2}.

Passo 6

Agora integramos ambos os lados em relação a \,x:
\frac{y}{x} = \int \frac{3}{x^2}\,dx = 3\int x^{-2}\,dx.
Usando a regra de integração \,\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, com n=-2 obtemos \,\int x^{-2}\,dx = -x^{-1}. Assim
\frac{y}{x} = 3\big(-x^{-1}\big) + C = -\frac{3}{x} + C,
onde \,C é a constante de integração.

Passo 7

Multiplicando por \,x para isolar \,y temos
y = x\left(-\frac{3}{x} + C\right) = -3 + Cx.
Portanto a solução geral encontrada é \,y(x)=Cx-3, com \,C\in\mathbb{R}.

Passo 8

Verificação rápida: calcule \,y' = C. Substituindo na equação original
x\,y' = xC,\qquad y+3 = (Cx-3)+3 = Cx,
logo x\,y' = y+3 fica xC = Cx, que é verdade. Assim \,y(x)=Cx-3 satisfaz a equação para todo \,x. Observação sobre \,x=0: na derivação dividimos por \,x, então tratamos inicialmente \,x\neq0; mas a família \,y=Cx-3 pode ser avaliada em \,x=0 e dá \,y(0)=-3, e de fato a equação original no ponto x=0 impõe 0\cdot y'(0)=y(0)+3, ou seja y(0)=-3, que é satisfeita por todas as curvas da família. Portanto a expressão final \,y=Cx-3 descreve as soluções (em qualquer intervalo real) com constante arbitrária \,C.

Passo 9

Resumo intuitivo (tipo “cola” para a prova): transforme para a forma y'+P(x)y=Q(x), calcule \mu=e^{\int P}, multiplique e reconheça o lado esquerdo como (\mu y)', integre e isole y. Aplicando isso aqui deu \,y=Cx-3.

Resposta

\displaystyle y(x)=C\,x-3,\; C\in\mathbb{R}

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