Resolva a equação diferencial.
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
As informações que temos são:
- A incógnita é a função
. - A equação relaciona
(derivada de em relação a ) com e . - Note que há um fator
multiplicando , portanto o ponto precisa ser observado com cuidado (dividir por exige ).
A pergunta implícita é: encontrar a solução geralda equação diferencial.
Passo 2
Vamos reescrever a equação para colocá‑la numa forma padrão. Subtraindo
de ambos os lados obtemos
Agora dividimos por
(aqui assumimos temporariamente
) para deixar o coeficiente de
igual a
:
Dividir por
facilita o uso de um método padrão para equações lineares de primeira ordem.
Passo 3
Apresento o método que usarei (explico como ele funciona): uma equação linear de primeira ordem tem a forma
onde
e
são funções conhecidas de
. Se multiplicarmos a equação por um fator integrante
, então o lado esquerdo vira a derivada de
:
Isso transforma a equação diferencial numa integral simples para
. Aqui, comparando com a equação obtida em
Passo 2
, identificamos
Passo 4
Calculamos o fator integrante
:
Para resolver explicitamente numa única expressão, trabalhamos em intervalos onde o sinal de
é fixo (por exemplo
ou
), e aí podemos tomar
(o sinal absoluto pode ser absorvido na constante de integração depois). Assim usaremos
.
Passo 5
Multiplicando a equação
por
obtemos
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Portanto a equação fica
Passo 6
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Usando a regra de integração
para
, com
obtemos
. Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Multiplicando por
para isolar
temos
Portanto a solução geral encontrada é
, com
.
Passo 8
Verificação rápida: calcule
. Substituindo na equação original
logo
fica
, que é verdade. Assim
satisfaz a equação para todo
. Observação sobre
: na derivação dividimos por
, então tratamos inicialmente
; mas a família
pode ser avaliada em
e dá
, e de fato a equação original no ponto
impõe
, ou seja
, que é satisfeita por todas as curvas da família. Portanto a expressão final
descreve as soluções (em qualquer intervalo real) com constante arbitrária
.
Passo 9
Resumo intuitivo (tipo “cola” para a prova): transforme para a forma
, calcule
, multiplique e reconheça o lado esquerdo como
, integre e isole
. Aplicando isso aqui deu
.