Resolva a equação diferencial homogênea:
\left(y^{2}+y x\right) d x-x^{2} d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y^{2}+y x\right) d x - x^{2} d y = 0
O que nos é pedido: encontrar a solução geral y(x) dessa equação (ou soluções singulares, se houver).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{Equação dada: }\left(y^{2}+y x\right) d x - x^{2} d y = 0.çã
Não há outras condições iniciais fornecidas, então buscamos a família geral de soluções contendo uma constante arbitrária C. Não vou resolver nada ainda; só organizei o que é pedido e os dados.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: reescrevo a equação de forma conveniente para obter \dfrac{dy}{dx}. A equação original é
\left(y^{2}+y x\right) d x = x^{2} d y.
Dividindo por dx (assumindo dx\neq0) e por x^{2} (assumindo x\neq0, vamos tratar x=0 depois), obtemos
\frac{dy}{dx} = \frac{y^{2}+x y}{x^{2}}.
Agora simplifico o lado direito colocando em termos de \dfrac{y}{x}:
\frac{dy}{dx} = \left(\frac{y}{x}\right)^{2} + \frac{y}{x}.

Passo 3

Observação importante (motivo da escolha do método): o membro direito depende apenas da razão \dfrac{y}{x}. Quando \dfrac{dy}{dx} é função de \dfrac{y}{x} (ou seja, depende só da razão entre y e x), uma técnica muito eficiente é a substituição
\text{defina } v(x)=\frac{y(x)}{x}.
Isso transforma a equação num problema em v e x que normalmente é separável. Vou explicar como calcular dy/dx em termos de v e dv/dx: como y = v x, derivando em relação a x usando a regra do produto,
\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx}.
Aqui v é uma função de x (ou seja v(x)), e dv/dx é sua derivada.

Passo 4

Faço a substituição \dfrac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx} na equação obtida no Passo 2:
v + x\frac{dv}{dx} = v^{2} + v.
Agora simplifico: o termo v aparece nos dois lados e cancela:
x\frac{dv}{dx} = v^{2}.
Esta é uma equação diferencial em v e x que é separável — ou seja, pode-se separar todas as potências de v de um lado e as de x do outro.

Passo 5

Separe as variáveis colocando todos os termos em v de um lado e os termos em x do outro:
\frac{dv}{v^{2}} = \frac{dx}{x}.
Expliquei a separação: dividi ambos os lados por v^{2} e por x, ficando com dv/v^{2} de um lado e dx/x do outro. Note que dividimos por v^{2}, então a solução com v=0 precisa ser tratada separadamente (vai aparecer depois como solução singular).

Passo 6

Integro ambos os lados. Lembre as fórmulas de integração usadas:
  • \displaystyle \int v^{n}\,dv = \frac{v^{n+1}}{n+1} quando n\neq -1.
  • \displaystyle \int \frac{dx}{x} = \ln|x| + constante.
    Aplicando:
\int \frac{dv}{v^{2}} = \int \frac{dx}{x}.
Calculo a integral à esquerda: \int v^{-2} dv = \frac{v^{-1}}{-1} = -\frac{1}{v}. À direita: \int x^{-1} dx = \ln|x|. Portanto
-\frac{1}{v} = \ln|x| + C,
onde C é a constante de integração (arbitrária).

Passo 7

Agora isolo v para escrever a solução explícita. Da equação
-\frac{1}{v} = \ln|x| + C,
posso multiplicar por -1 e inverter renomeando a constante se quiser uma expressão mais limpa. Faço isso em dois passos para ficar claro:
\frac{1}{v} = -\ln|x| - C =: C_{1} - \ln|x|,
onde C_{1} é outra constante arbitrária (igual a -C). Assim
v = \frac{1}{C_{1} - \ln|x|}.
Volto à variável original y lembrando que v = \dfrac{y}{x}. Logo
\frac{y}{x} = \frac{1}{C_{1} - \ln|x|},
e isolando y obtenho a forma explícita da solução geral:
y = \frac{x}{C_{1} - \ln|x|}.
Você pode também escrever a solução de forma implícita multiplicando ambos os lados da relação -1/v = \ln|x| + C por x e substituindo v=y/x, o que dá a forma conveniente
-\frac{x}{y} = \ln|x| + C.

Passo 8

Verificação de soluções especiais e observações sobre domínio:
  • Ao separar usamos divisão por v^{2}. A situação v=0 (ou seja y=0) ficou excluída dessa separação. Precisamos checar y\equiv 0 diretamente na equação original: substituindo y=0 em
\left(y^{2}+y x\right) d x - x^{2} d y = 0
temos 0\cdot dx - x^{2}\cdot 0 = 0, ou seja, 0=0. Portanto y\equiv 0 é uma solução (solução singular) que não aparece na família obtida pelo processo de separação. Devemos incluí‑la entre as soluções.
  • Sobre o domínio: a expressão \ln|x| exige x\neq 0. Assim a solução explícita válida é para x\neq 0. Em problemas práticos você também escolherá intervalos onde C_{1}-\ln|x|\neq0 para evitar divisão por zero; se C_{1}-\ln|x|=0 em algum ponto, a solução explodiria ali (assíntota vertical).

Resposta

y=\dfrac{x}{C-\ln|x|}
y=0

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