Resolva a equação diferencial homogênea:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que nos é pedido: encontrar a solução geral
dessa equação (ou soluções singulares, se houver).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Não há outras condições iniciais fornecidas, então buscamos a família geral de soluções contendo uma constante arbitrária
. Não vou resolver nada ainda; só organizei o que é pedido e os dados.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: reescrevo a equação de forma conveniente para obter
. A equação original é
Dividindo por
(assumindo
) e por
(assumindo
, vamos tratar
depois), obtemos
Agora simplifico o lado direito colocando em termos de
:
Passo 3
Observação importante (motivo da escolha do método): o membro direito depende apenas da razão
. Quando
é função de
(ou seja, depende só da razão entre
e
), uma técnica muito eficiente é a substituição
Isso transforma a equação num problema em
e
que normalmente é separável. Vou explicar como calcular
em termos de
e
: como
, derivando em relação a
usando a regra do produto,
Aqui
é uma função de
(ou seja
), e
é sua derivada.
Passo 4
Faço a substituição
na equação obtida no Passo 2:
Agora simplifico: o termo
aparece nos dois lados e cancela:
Esta é uma equação diferencial em
e
que é separável — ou seja, pode-se separar todas as potências de
de um lado e as de
do outro.
Passo 5
Separe as variáveis colocando todos os termos em
de um lado e os termos em
do outro:
Expliquei a separação: dividi ambos os lados por
e por
, ficando com
de um lado e
do outro. Note que dividimos por
, então a solução com
precisa ser tratada separadamente (vai aparecer depois como solução singular).
Passo 6
Integro ambos os lados. Lembre as fórmulas de integração usadas:
-
quando . -
constante.
Aplicando:
Calculo a integral à esquerda:
. À direita:
. Portanto
onde
é a constante de integração (arbitrária).
Passo 7
Agora isolo
para escrever a solução explícita. Da equação
posso multiplicar por
e inverter renomeando a constante se quiser uma expressão mais limpa. Faço isso em dois passos para ficar claro:
onde
é outra constante arbitrária (igual a
). Assim
Volto à variável original
lembrando que
. Logo
e isolando
obtenho a forma explícita da solução geral:
Você pode também escrever a solução de forma implícita multiplicando ambos os lados da relação
por
e substituindo
, o que dá a forma conveniente
Passo 8
Verificação de soluções especiais e observações sobre domínio:
- Ao separar usamos divisão por
. A situação (ou seja ) ficou excluída dessa separação. Precisamos checar diretamente na equação original: substituindo em
temos
, ou seja,
. Portanto
é uma solução (solução singular) que não aparece na família obtida pelo processo de separação. Devemos incluí‑la entre as soluções.
- Sobre o domínio: a expressão
exige . Assim a solução explícita válida é para . Em problemas práticos você também escolherá intervalos onde para evitar divisão por zero; se em algum ponto, a solução explodiria ali (assíntota vertical).