Resolva a equação diferencial linear:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas e o que devemos encontrar:
- A equação está no formato
com e . - Queremos a solução geral implícita (ou explícita se possível), ou seja, uma relação entre
e que satisfaça a equação. - Note que a equação envolve termos com potências de
, então há atenção ao domínio: pode ser caso particular; integradores que usarem exigirão . Vamos tratar isso ao longo da resolução.
Passo 2
Primeiro passo prático: verificar se a equação é exata. Uma equação
é exata se
Calculemos:
Como
, a equação não é exata no estado atual. Não desanima — há técnica para tornar exata usando um fator integrante.
Passo 3
Ideia do fator integrante (aula curtinha): às vezes existe uma função
que depende só de
ou só de
tal que multiplicando a equação por
ela fica exata. Para testar se existe um fator integrante que depende apenas de
, usamos a fórmula derivada da condição de exatidão:
Calcule a expressão:
que depende apenas de
. Logo existe um fator integrante
. Agora calcule-o:
Para trabalhar com simplicidade e definir sinal, escolhemos
em regiões onde
(se
, usar
e o raciocínio é análogo). Portanto, a partir de agora assumimos
e, para clareza, trabalhamos no caso
(o caso
segue por simetria de sinais).
Passo 4
Multiplique a equação original por
. A equação original escrita como
fica:
Calcule os coeficientes novos:
Verifiquemos agora exatidão:
Como
, a equação multiplicada por
é exata. Bom sinal — agora podemos achar uma função potencial.
Passo 5
Procure uma função
tal que
Integramos primeiro em relação a
:
onde
é uma função a determinar (constante de integração em
, pode depender de
).
Passo 6
Agora diferenciamos
em relação a
e igualamos a
para encontrar
:
Isso deve igualar
. Portanto
Integre
:
Substituindo em
(podemos absorver
na constante geral da solução), obtemos a função potencial
Passo 7
A condição de exatidão implica que a solução geral está dada implicitamente por
onde
é constante arbitrária. Assim a solução implícita é
Podemos reescrever usando raiz quadrada como
(lembrando que acima trabalhamos para
; para
o fator integrante exige cuidar do sinal e da raiz, e
deve ser analisado como caso especial da equação original).