Resolva a equação diferencial linear:
\left(x+4 y^{2}\right) d y+2 y d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\left(x+4 y^{2}\right) d y+2 y d x=0.
Informações dadas e o que devemos encontrar:
  • A equação está no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=2y e N(x,y)=x+4y^{2}.
  • Queremos a solução geral implícita (ou explícita se possível), ou seja, uma relação entre x e y que satisfaça a equação.
  • Note que a equação envolve termos com potências de y, então há atenção ao domínio: y=0 pode ser caso particular; integradores que usarem y^{-1/2} exigirão y\neq0. Vamos tratar isso ao longo da resolução.

Passo 2

Primeiro passo prático: verificar se a equação é exata. Uma equação M\,dx+N\,dy=0 é exata se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Calculemos:
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y)=2,
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+4y^{2})=1.
Como 2\neq1, a equação não é exata no estado atual. Não desanima — há técnica para tornar exata usando um fator integrante.

Passo 3

Ideia do fator integrante (aula curtinha): às vezes existe uma função \mu que depende só de x ou só de y tal que multiplicando a equação por \mu ela fica exata. Para testar se existe um fator integrante que depende apenas de y, usamos a fórmula derivada da condição de exatidão:
\text{se } \frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M} \text{ depende só de } y,\text{ então } \mu(y)=\exp\left(\int \frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}\,dy\right).óã
Calcule a expressão:
\frac{\partial N/\partial x - \partial M/\partial y}{M}=\frac{1-2}{2y}=\frac{-1}{2y}=-\frac{1}{2y},
que depende apenas de y. Logo existe um fator integrante \mu(y). Agora calcule-o:
\mu(y)=\exp\left(\int -\frac{1}{2y}\,dy\right)=\exp\left(-\frac{1}{2}\ln|y|\right)=|y|^{-1/2}.
Para trabalhar com simplicidade e definir sinal, escolhemos \mu(y)=y^{-1/2} em regiões onde y>0 (se y<0, usar \mu(y)=(-y)^{-1/2} e o raciocínio é análogo). Portanto, a partir de agora assumimos y\neq0 e, para clareza, trabalhamos no caso y>0 (o caso y<0 segue por simetria de sinais).

Passo 4

Multiplique a equação original por \mu(y)=y^{-1/2}. A equação original escrita como 2y\,dx+(x+4y^{2})\,dy=0 fica:
y^{-1/2}\cdot 2y\,dx + y^{-1/2}\cdot (x+4y^{2})\,dy=0.
Calcule os coeficientes novos:
\bar{M}(x,y)=2y\cdot y^{-1/2}=2y^{1/2},
\bar{N}(x,y)= (x+4y^{2})\cdot y^{-1/2}=x y^{-1/2}+4y^{3/2}.
Verifiquemos agora exatidão:
\frac{\partial \bar{M}}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(2y^{1/2})=2\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}=y^{-1/2},
\frac{\partial \bar{N}}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x y^{-1/2}+4y^{3/2})=y^{-1/2}.
Como \partial \bar{M}/\partial y=\partial \bar{N}/\partial x, a equação multiplicada por \mu é exata. Bom sinal — agora podemos achar uma função potencial.

Passo 5

Procure uma função \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\bar{M}(x,y)=2y^{1/2}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\bar{N}(x,y)=x y^{-1/2}+4y^{3/2}.
Integramos primeiro em relação a x:
\Phi(x,y)=\int \frac{\partial \Phi}{\partial x}\,dx=\int 2y^{1/2}\,dx=2x y^{1/2}+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar (constante de integração em x, pode depender de y).

Passo 6

Agora diferenciamos \Phi(x,y) em relação a y e igualamos a \bar{N} para encontrar h'(y):
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=2x\cdot\frac{1}{2}y^{-1/2}+h'(y)=x y^{-1/2}+h'(y).
Isso deve igualar \bar{N}(x,y)=x y^{-1/2}+4y^{3/2}. Portanto
x y^{-1/2}+h'(y)=x y^{-1/2}+4y^{3/2}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=4y^{3/2}.
Integre h'(y):
h(y)=\int 4y^{3/2}\,dy=4\cdot\frac{y^{5/2}}{5/2}=4\cdot\frac{2}{5}y^{5/2}=\frac{8}{5}y^{5/2}+C_0.
Substituindo em \Phi (podemos absorver C_0 na constante geral da solução), obtemos a função potencial
\Phi(x,y)=2x y^{1/2}+\frac{8}{5}y^{5/2}.

Passo 7

A condição de exatidão implica que a solução geral está dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C,
onde C é constante arbitrária. Assim a solução implícita é
2x y^{1/2}+\frac{8}{5}y^{5/2}=C.
Podemos reescrever usando raiz quadrada como \sqrt{y}=y^{1/2} (lembrando que acima trabalhamos para y>0; para y<0 o fator integrante exige cuidar do sinal e da raiz, e y=0 deve ser analisado como caso especial da equação original).

Resposta

2x\sqrt{y}+\dfrac{8}{5}y^{5/2}=C

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