Resolva a equação diferencial indicada utilizando Transformada de Laplace.
\left\{\begin{array}{c} y^{\prime \prime}-y^{\prime}-6 y=0 \\\ y(0)=2 \\\ y^{\prime}(0)=7 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com condições iniciais
y'' - y' - 6y = 0,\quad y(0)=2,\quad y'(0)=7,
e pede para resolver usando Transformada de Laplace. Vamos usar as propriedades
\mathcal{L}\{y'\}=sY(s)-y(0) e
\mathcal{L}\{y''\}=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0).

Passo 2

Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os lados de
y'' - y' - 6y = 0
obtemos
\bigl(s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0)\bigr)\;-\;\bigl(sY(s)-y(0)\bigr)\;-\;6Y(s)\;=\;0.
Substituindo y(0)=2 e y'(0)=7, fica
s^2Y(s)-2s-7 \;-\;sY(s)+2 \;-\;6Y(s)\;=\;0.

Passo 3

Agrupando os termos em Y(s) e os constantes,
(s^2 - s -6)\,Y(s)\;=\;2s+5.
Logo
Y(s)\;=\;\frac{2s+5}{s^2 - s -6}.

Passo 4

O denominador fatora-se como (s-3)(s+2). Então fazemos frações parciais:
\frac{2s+5}{(s-3)(s+2)} =\frac{A}{s-3}+\frac{B}{s+2},
onde A+B=2 e 2A-3B=5. Daí A=\tfrac{11}{5} e B=-\tfrac{1}{5}. Assim
Y(s)=\frac{11/5}{s-3}-\frac{1/5}{s+2}.

Passo 5

Invertemos cada parcela usando
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\}=e^{at}. Portanto
y(t) =\frac{11}{5}e^{3t} -\frac{1}{5}e^{-2t}.

Resposta

y(t)=\frac{11}{5}e^{3t}-\frac{1}{5}e^{-2t}.

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