Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\right.
\left{
\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
com as condições de contorno
Este é um problema de autovalores (Sturm–Liouville) em que só haverá solução não trivial (autofunção) para certos valores de
. Vamos analisar os três casos:
,
e
.
Passo 2
Caso
. Escrevemos
com
. A equação torna-se
cuja solução geral é
Impondo
temos
Logo
A condição
dá
mas
para todo
, então
. Concluímos que só existe solução trivial.
Passo 3
Caso
. A equação é
com solução
Da condição
vem
. Em seguida
força
. Novamente só há solução trivial.
Passo 4
Caso
. Escrevemos
com
. A equação é
solução geral
Impondo
obtemos
Então
Para
precisamos
Para
a condição é
isto é
Dessa forma os autovalores são
e as autofunções correspondentes (à constante multiplicativa
) são
Resposta
O problema só admite solução não trivial para
com autofunções
Para qualquer outro
não há solução distinta da trivial.