Em cada um dos itens abaixo resolva o problema de valor de contorno ou mostre que o problema não tem solução.
\left{
\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+\lambda y=0 \\ y^{\prime}(0)=0, y(\pi)=0\end{array}
\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor de contorno
y'' + \lambda\,y = 0,
com as condições de contorno
y'(0)=0,\quad y(\pi)=0.
Este é um problema de autovalores (Sturm–Liouville) em que só haverá solução não trivial (autofunção) para certos valores de \lambda. Vamos analisar os três casos: \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0.

Passo 2

Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda = -\mu^2 com \mu>0. A equação torna-se
y'' - \mu^2 y = 0,
cuja solução geral é
y(x) = A e^{\mu x} + B e^{-\mu x}.
Impondo y'(0)=0 temos
y'(x)=A\mu e^{\mu x}-B\mu e^{-\mu x} \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=\mu(A - B)=0 \quad\Rightarrow\quad A=B.
Logo
y(x)=A\bigl(e^{\mu x}+e^{-\mu x}\bigr)=2A\operatorname{cosh}(\mu x).
A condição y(\pi)=0
2A\operatorname{cosh}(\mu\pi)=0,
mas \operatorname{cosh}(\mu\pi)>0 para todo \mu>0, então A=0. Concluímos que só existe solução trivial.

Passo 3

Caso \lambda=0. A equação é
y''=0,
com solução
y(x)=Cx+D.
Da condição y'(0)=C=0 vem y(x)=D. Em seguida y(\pi)=D=0 força D=0. Novamente só há solução trivial.

Passo 4

Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda = k^2 com k>0. A equação é
y'' + k^2 y = 0,
solução geral
y(x)=A\cos(kx)+B\sin(kx).
Impondo y'(0)=0 obtemos
y'(x)=-Ak\sin(kx)+Bk\cos(kx) \quad\Longrightarrow\quad y'(0)=Bk=0 \quad\Rightarrow\quad B=0.
Então
y(x)=A\cos(kx).
Para y(\pi)=0 precisamos
A\cos(k\pi)=0.
Para A\neq0 a condição é
\cos(k\pi)=0 \quad\Longrightarrow\quad k\pi = \frac{(2n+1)\pi}{2},\quad n=0,1,2,\dots
isto é
k = \frac{2n+1}{2}.
Dessa forma os autovalores são
\lambda_n = k^2 = \biggl(\frac{2n+1}{2}\biggr)^{2}, \quad n=0,1,2,\dots
e as autofunções correspondentes (à constante multiplicativa A) são
y_n(x) = \cos\!\bigl(\tfrac{2n+1}{2}\,x\bigr).

Resposta

O problema só admite solução não trivial para
\lambda_n = \Bigl(\tfrac{2n+1}{2}\Bigr)^{2},\quad n=0,1,2,\dots
com autofunções
y_n(x) = \cos\!\Bigl(\tfrac{2n+1}{2}\,x\Bigr).
Para qualquer outro \lambda não há solução distinta da trivial.

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