Resolva a equação diferencial linear:
\cos ^{2} x \operatorname{sen} x d y+\left(y \cos ^{3} x-1\right) d x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
\cos^{2}x\,\sin x\,dy+\bigl(y\cos^{3}x-1\bigr)\,dx=0.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • A equação envolve as funções trigonométricas \sin x e \cos x.
  • A incógnita é y função de x, ou seja, buscamos y(x).
  • Para manipular a equação algebraicamente será necessário dividir por expressões que contêm \sin x e \cos x; portanto, teremos que trabalhar em intervalos onde \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0 (vou mencionar isso de novo no final).
  • A meta é obter a solução geral y(x) (com constante de integração).

Passo 2

Vamos pôr a equação na forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x) (forma linear padrão de primeira ordem). Primeiro isolamos dy dividindo ambos os lados por \cos^{2}x\,\sin x (lembrando a restrição \cos x\neq0 e \sin x\neq0):
\frac{dy}{dx}=\frac{1-y\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x}.
Agora separamos os termos:
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}-y\frac{\cos^{3}x}{\cos^{2}x\,\sin x}.
Simplificando as potências de \cos x,
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}-y\frac{\cos x}{\sin x}.
Portanto a equação em forma linear é
\frac{dy}{dx} + \underbrace{\frac{\cos x}{\sin x}}_{P(x)}\,y=\underbrace{\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}}_{Q(x)}.

Passo 3

Explico o método do fator integrante (integrating factor) de forma didática:
  • Uma equação linear de primeira ordem tem a forma \displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
  • Se encontrarmos uma função \mu(x) tal que multiplicando a equação por \mu o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y(x), então podemos integrar facilmente. Isto é, queremos \mu tal que
\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y = \frac{d}{dx}(\mu y).
  • Usando a regra do produto, \frac{d}{dx}(\mu y)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y. Comparando com \mu\frac{dy}{dx}+\mu P y, devemos ter \mu'=\mu P.
  • Essa equação para \mu é separável e sua solução geral é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
Aqui P(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x.

Passo 4

Calculemos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\Bigl(\int \cot x\,dx\Bigr).
Sabemos que \displaystyle \int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+C. Tomando a exponencial (podemos ignorar a constante multiplicativa porque qualquer constante multiplicativa em \mu se anula no processo),
\mu(x)=e^{\ln|\sin x|}=|\sin x|.
Para simplificar a escrita e trabalhar em um intervalo onde \sin x>0 (ou tomar cuidado com o sinal), usamos \mu(x)=\sin x. Assim o fator integrante escolhido é
\mu(x)=\sin x.

Passo 5

Multiplicamos a equação linear por \mu(x)=\sin x. A equação original em forma linear era
\frac{dy}{dx}+\cot x\,y=\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}.
Multiplicando por \sin x,
\sin x\frac{dy}{dx}+\sin x\cot x\,y=\sin x\cdot\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}.
Simplificando \sin x\cot x=\cos x e o lado direito \sin x\cdot\frac{1}{\cos^{2}x\,\sin x}=\frac{1}{\cos^{2}x}, obtemos
\sin x\frac{dy}{dx}+\cos x\,y=\frac{1}{\cos^{2}x}.
Pelo propósito do fator integrante, o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto \sin x\cdot y. De fato,
\frac{d}{dx}(\sin x\,y)=\sin x\frac{dy}{dx}+\cos x\,y.
Portanto a equação simplifica para
\frac{d}{dx}\bigl(\sin x\,y\bigr)=\frac{1}{\cos^{2}x}.

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x. À direita temos a integral de \operatorname{sec}^{2}x (pois \dfrac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x):
\sin x\,y=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Sabemos a primitiva \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x + C. Assim
\sin x\,y=\tan x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Agora isolamos y. Dividindo por \sin x (novamente assumindo \sin x\neq0),
y=\frac{\tan x + C}{\sin x}.
Vamos simplificar a fração: \dfrac{\tan x}{\sin x}=\dfrac{\sin x/\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x. E \dfrac{C}{\sin x}=C\csc x. Portanto a forma mais elegante da solução geral é
y=\operatorname{sec} x + C\,\csc x,
onde C é constante de integração.

Passo 8

Observações finais (importantes para a prova):
  • A solução encontrada y=\operatorname{sec} x + C\csc x é válida em intervalos onde \sin x\neq0 e \cos x\neq0 (pois dividimos por essas funções durante o processo). Ou seja, a solução é válida em cada intervalo entre os zeros de \sin x e \cos x onde ambas não se anulam.
  • Em pontos isolados onde \sin x=0 ou \cos x=0 pode ocorrer comportamento singular; se a prova exigir, verifique possíveis soluções particulares que satisfaçam a equação original nesses pontos. Para a prova típica, apresentar a solução geral em intervalos regulares como acima é suficiente.
  • Dica prática para a prova: ao ver uma equação da forma y' + \cot x\, y = \dots, já pense em fator integrante \mu=\sin x; isso economiza tempo.

Resposta

y=\operatorname{sec} x + C\,\csc x

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