A equação envolve as funções trigonométricas \sin x e \cos x.
A incógnita é y função de x, ou seja, buscamos y(x).
Para manipular a equação algebraicamente será necessário dividir por expressões que contêm \sin x e \cos x; portanto, teremos que trabalhar em intervalos onde \sin x\neq 0 e \cos x\neq 0 (vou mencionar isso de novo no final).
A meta é obter a solução geral y(x) (com constante de integração).
Passo 2
Vamos pôr a equação na forma dy/dx + P(x)\,y = Q(x) (forma linear padrão de primeira ordem). Primeiro isolamos dy dividindo ambos os lados por \cos^{2}x\,\sin x (lembrando a restrição \cos x\neq0 e \sin x\neq0):
Explico o método do fator integrante (integrating factor) de forma didática:
Uma equação linear de primeira ordem tem a forma \displaystyle \frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Se encontrarmos uma função \mu(x) tal que multiplicando a equação por \mu o lado esquerdo se torne a derivada do produto \mu(x)\,y(x), então podemos integrar facilmente. Isto é, queremos \mu tal que
\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y = \frac{d}{dx}(\mu y).
Usando a regra do produto, \frac{d}{dx}(\mu y)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y. Comparando com \mu\frac{dy}{dx}+\mu P y, devemos ter \mu'=\mu P.
Essa equação para \mu é separável e sua solução geral é
\mu(x)=\exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr).
Aqui P(x)=\dfrac{\cos x}{\sin x}=\cot x.
Passo 4
Calculemos o fator integrante \mu(x):
\mu(x)=\exp\Bigl(\int \cot x\,dx\Bigr).
Sabemos que \displaystyle \int \cot x\,dx=\ln|\sin x|+C. Tomando a exponencial (podemos ignorar a constante multiplicativa porque qualquer constante multiplicativa em \mu se anula no processo),
\mu(x)=e^{\ln|\sin x|}=|\sin x|.
Para simplificar a escrita e trabalhar em um intervalo onde \sin x>0 (ou tomar cuidado com o sinal), usamos \mu(x)=\sin x. Assim o fator integrante escolhido é
\mu(x)=\sin x.
Passo 5
Multiplicamos a equação linear por \mu(x)=\sin x. A equação original em forma linear era
Integramos ambos os lados em relação a x. À direita temos a integral de \operatorname{sec}^{2}x (pois \dfrac{1}{\cos^{2}x}=\operatorname{sec}^{2}x):
\sin x\,y=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx.
Sabemos a primitiva \displaystyle \int \operatorname{sec}^{2}x\,dx=\tan x + C. Assim
\sin x\,y=\tan x + C,
onde C é a constante de integração.
Passo 7
Agora isolamos y. Dividindo por \sin x (novamente assumindo \sin x\neq0),
y=\frac{\tan x + C}{\sin x}.
Vamos simplificar a fração: \dfrac{\tan x}{\sin x}=\dfrac{\sin x/\cos x}{\sin x}=\dfrac{1}{\cos x}=\operatorname{sec} x. E \dfrac{C}{\sin x}=C\csc x. Portanto a forma mais elegante da solução geral é
y=\operatorname{sec} x + C\,\csc x,
onde C é constante de integração.
Passo 8
Observações finais (importantes para a prova):
A solução encontrada y=\operatorname{sec} x + C\csc x é válida em intervalos onde \sin x\neq0 e \cos x\neq0 (pois dividimos por essas funções durante o processo). Ou seja, a solução é válida em cada intervalo entre os zeros de \sin x e \cos x onde ambas não se anulam.
Em pontos isolados onde \sin x=0 ou \cos x=0 pode ocorrer comportamento singular; se a prova exigir, verifique possíveis soluções particulares que satisfaçam a equação original nesses pontos. Para a prova típica, apresentar a solução geral em intervalos regulares como acima é suficiente.
Dica prática para a prova: ao ver uma equação da forma y' + \cot x\, y = \dots, já pense em fator integrante \mu=\sin x; isso economiza tempo.