5: Resolva a equação diferencial linear
f^{\prime}(x)+3 x^{2} f(x)=6 x^{2}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
f^{\prime}(x)+3 x^{2} f(x)=6 x^{2}.
As informações dadas são:
\text{unknown: }f(x),
\text{equação: }f^{\prime}(x)+3 x^{2} f(x)=6 x^{2}.çã
Não há condição inicial fornecida, então vamos procurar a solução geral, com constante arbitrária.

Passo 2

Vamos escolher um método para resolver. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
f^{\prime}(x)+p(x)f(x)=q(x),
com p(x)=3x^{2} e q(x)=6x^{2}. Um método direto e eficiente para esse tipo de equação é o método do fator integrante (integrating factor). Vou usar esse método porque transforma a equação numa forma que podemos integrar facilmente e obter a solução geral.

Passo 3

Explico rapidamente o que é o fator integrante e por que funciona. Para uma equação
f^{\prime}(x)+p(x)f(x)=q(x),
define-se o fator integrante
\mu(x)=\exp\!\Big(\int p(x)\,dx\Big).
Multiplicando a equação original por \mu(x) obtemos
\mu(x)f^{\prime}(x)+\mu(x)p(x)f(x)=\mu(x)q(x).
A construção de \mu faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto \mu(x)f(x), isto é,
\frac{d}{dx}\big(\mu(x)f(x)\big)=\mu(x)f^{\prime}(x)+\mu'(x)f(x).
Como \mu'(x)=\mu(x)p(x), os termos coincidem e podemos integrar ambos os lados para resolver.

Passo 4

Identificamos p(x)=3x^{2}. Calculamos o fator integrante:
\mu(x)=\exp\!\Big(\int 3x^{2}\,dx\Big)=\exp\!\big(x^{3}\big).
Aqui usei que \int 3x^{2}\,dx=x^{3}+C, e ao colocar na exponencial a constante multiplicativa vira um fator constante que pode ser absorvido depois na constante de integração final, por isso tomamos \mu(x)=\exp(x^{3}).

Passo 5

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=\exp(x^{3}):
\exp(x^{3})f^{\prime}(x)+3x^{2}\exp(x^{3})f(x)=6x^{2}\exp(x^{3}).
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(\exp(x^{3})f(x)\big)=6x^{2}\exp(x^{3}).

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(\exp(x^{3})f(x)\big)\,dx=\int 6x^{2}\exp(x^{3})\,dx.
No lado esquerdo a integral da derivada retorna o próprio produto:
\exp(x^{3})f(x)=\int 6x^{2}\exp(x^{3})\,dx + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Calculamos a integral do lado direito por substituição. Faça u=x^{3}, então du=3x^{2}\,dx, ou seja x^{2}\,dx=\dfrac{du}{3}. Assim
\int 6x^{2}\exp(x^{3})\,dx=\int 6\exp(u)\cdot \frac{du}{3}=2\int \exp(u)\,du=2\exp(u)+\tilde{C}=2\exp(x^{3})+\tilde{C}.
Como já temos uma constante de integração geral, podemos juntar as constantes e escrever:
\exp(x^{3})f(x)=2\exp(x^{3})+C,
onde C é a constante arbitrária final.

Passo 8

Isolamos f(x) dividindo por \exp(x^{3}):
f(x)=2 + C\exp(-x^{3}).
Aqui C é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral da equação diferencial.

Passo 9

Verificação rápida (útil na prova para checar): calcule f'(x) e substitua na equação original.
f(x)=2 + C\exp(-x^{3}) \quad\Rightarrow\quad f^{\prime}(x)=C\cdot(-3x^{2})\exp(-x^{3})=-3C x^{2}\exp(-x^{3}).
Agora
f^{\prime}(x)+3x^{2}f(x)=-3C x^{2}e^{-x^{3}}+3x^{2}\big(2+Ce^{-x^{3}}\big)=6x^{2},
pois os termos com C se cancelam. Então a solução está correta.

Passo 10

Dica rápida para a prova: quando você vir uma equação na forma f'+p(x)f=q(x), já pense no fator integrante \mu=\exp(\int p). Se p(x) for uma derivada simples (aqui 3x^{2} é a derivada de x^{3}), a integral do fator integrante costuma simplificar bastante.

Resposta

f(x)=2 + C\exp(-x^{3})

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