5: Resolva a equação diferencial linear
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
As informações dadas são:
Não há condição inicial fornecida, então vamos procurar a solução geral, com constante arbitrária.
Passo 2
Vamos escolher um método para resolver. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
com
e
. Um método direto e eficiente para esse tipo de equação é o método do fator integrante (integrating factor). Vou usar esse método porque transforma a equação numa forma que podemos integrar facilmente e obter a solução geral.
Passo 3
Explico rapidamente o que é o fator integrante e por que funciona. Para uma equação
define-se o fator integrante
Multiplicando a equação original por
obtemos
A construção de
faz com que o lado esquerdo seja a derivada do produto
, isto é,
Como
, os termos coincidem e podemos integrar ambos os lados para resolver.
Passo 4
Identificamos
. Calculamos o fator integrante:
Aqui usei que
, e ao colocar na exponencial a constante multiplicativa vira um fator constante que pode ser absorvido depois na constante de integração final, por isso tomamos
.
Passo 5
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo motivo explicado antes, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral da derivada retorna o próprio produto:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Calculamos a integral do lado direito por substituição. Faça
, então
, ou seja
. Assim
Como já temos uma constante de integração geral, podemos juntar as constantes e escrever:
onde
é a constante arbitrária final.
Passo 8
Isolamos
dividindo por
:
Aqui
é uma constante real arbitrária. Essa é a solução geral da equação diferencial.
Passo 9
Verificação rápida (útil na prova para checar): calcule
e substitua na equação original.
Agora
pois os termos com
se cancelam. Então a solução está correta.
Passo 10
Dica rápida para a prova: quando você vir uma equação na forma
, já pense no fator integrante
. Se
for uma derivada simples (aqui
é a derivada de
), a integral do fator integrante costuma simplificar bastante.