Seja E o sólido interior ao cilindro x^{2}+y^{2}=1, abaixo do plano z=5-y e acima do plano z-2+y. Faça um desenho de E, expresse E como um sólido de tipo I e calcule o volume de E.
Passo 1
O enunciado pede três coisas: (1) desenhar o sólido E; (2) expressar E como um sólido de tipo I; (3) calcular o volume de E.
As informações dadas são: o sólido E é o interior do cilindro x^{2}+y^{2}=1, está abaixo do plano z=5-y e acima do plano z=2-y. Ou seja, os limites verticais são as superfícies z=5-y (superior) e z=2-y (inferior), e a projeção no plano xy é o disco fechado definido por x^{2}+y^{2}\le 1.
Passo 2
Interpretação geométrica (sem começar a calcular ainda): a projeção vertical de E no plano xy é o disco
D=\{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Em cada ponto (x,y) desse disco, z varia entre z_{\text{inf}}=2-y e z_{\text{sup}}=5-y. Observação útil (que vai simplificar tudo): a diferença entre teto e chão é
(5-y)-(2-y)=3,
logo a espessura vertical (a altura medida ao longo do eixo z) é constante igual a 3 em todo o disco.
Passo 3
Definição de sólido de tipo I e aplicação ao caso: um sólido de tipo I é um conjunto que pode ser escrito como
Montando a integral de volume: a fórmula para o volume de um sólido de tipo I é
V=\iint_{D}\bigl(g_{2}(x,y)-g_{1}(x,y)\bigr)\,dA,
onde dA é o elemento de área no plano xy. No nosso caso g_{2}-g_{1}=3 é constante, logo
V=\iint_{D}3\,dA = 3\iint_{D}1\,dA = 3\cdot \text{(área de }D\text{)}.
Isto significa que o volume é simplesmente a área da base multiplicada pela altura constante 3. Vou agora calcular a área de D.
Passo 5
Cálculo da área de D usando coordenadas polares (a explicação do porquê: o disco fica muito simples em polares, pois x=r\cos\theta, y=r\sin\theta e o elemento de área vale dA=r\,dr\,d\theta). Em polares o disco D é
Logo a área de D é \pi. Substituindo na fórmula do volume:
V=3\cdot \pi=3\pi.
Passo 6
Descrição do desenho de E (como você deve desenhar na prova): desenhe um cilindro reto de raio 1 centrado na origem no plano xy. Em vez de tampas horizontais, as faces superior e inferior são planos inclinados dados por z=5-y e z=2-y — eles são planos paralelos deslocados um do outro. Cada segmento vertical acima de um ponto do disco tem comprimento 3. Assim o sólido parece um “prisma cilíndrico” de base circular, com top e bottom planos paralelos inclinados; visualmente é uma chapa cilíndrica de espessura vertical 3. (Se quiser, a distância perpendicular entre os planos é \dfrac{3}{\sqrt{2}}, mas isso não entra no volume calculado pelo limite vertical.)
Resposta
Desenho: cilindro de raio 1 (base x^{2}+y^{2}\le 1) com teto z=5-y e chão z=2-y, planos paralelos inclinados, altura vertical 3.
Sólido de tipo I: E=\{(x,y,z)\mid x^{2}+y^{2}\le 1,\;2-y\le z\le 5-y\}.
Volume: 3\pi.