Seja D a região limita por x+y=0, x+y=3, x-y=1 e x-y=4. Calcule
\iint_{D}(x+y)^{2} d A

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+y)^{2}\,dA
onde D é a região limitada pelas quatro retas
x+y=0,\quad x+y=3,\quad x-y=1,\quad x-y=4.
Informações dadas que vamos usar:
  • As quatro equações das retas que limitam a região.
  • A função a ser integrada é (x+y)^{2}.
    A partir daqui começamos a pensar em uma forma eficiente de calcular essa integral.

Passo 2

Escolha do método: note que a integranda depende apenas da combinação x+y. Além disso, as retas que limitam D são exatamente retas do tipo x+y=\text{constante} e x-y=\text{constante}. Por isso é natural usar a mudança de variáveis
u = x+y,\qquad v = x-y,
pois isso transforma as linhas que limitam D em retas de coordenadas constantes, simplificando muito a região de integração e a integranda. Vou explicar direitinho como fazer essa mudança e como calcular o fator de escala (Jacobiano).

Passo 3

Encontrando a inversa da transformação e o Jacobiano. Primeiro escrevemos x,y em função de u,v. Somando e subtraindo:
u = x+y,\qquad v = x-y.
Somando as duas equações:
u+v = (x+y)+(x-y)=2x \quad\Rightarrow\quad x=\frac{u+v}{2}.
Subtraindo:
u-v = (x+y)-(x-y)=2y \quad\Rightarrow\quad y=\frac{u-v}{2}.
Agora precisamos do Jacobiano \dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}. Montamos a matriz das derivadas parciais:
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial x}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial x}{\partial v} \\[6pt] \displaystyle \frac{\partial y}{\partial u} & \displaystyle \frac{\partial y}{\partial v} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[6pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
O determinante dessa matriz é
\det \begin{pmatrix} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\[4pt] \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} =\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{2}.
O fator de escala que aparece na mudança de variável é o valor absoluto do determinante do Jacobiano, portanto
\left|\det\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{1}{2}.
Isso significa que dA = \dfrac{1}{2}\,du\,dv.]

Passo 4

Descrição da região transformada. As retas que limitam D em termos de u,v ficam simplesmente:
x+y=0 \Longrightarrow u=0,\qquad x+y=3 \Longrightarrow u=3,
x-y=1 \Longrightarrow v=1,\qquad x-y=4 \Longrightarrow v=4.
Portanto a imagem de D no plano uv é o retângulo
R=\{(u,v)\mid 0\le u\le 3,\;1\le v\le 4\}.
A integranda (x+y)^{2} em u,v vira u^{2}. Juntando tudo, a integral transforma-se em
\iint_{D}(x+y)^{2}\,dA=\iint_{R} u^{2}\cdot\frac{1}{2}\,du\,dv.

Passo 5

Cálculo da integral no retângulo R. Escrevemos com os limites explícitos:
\iint_{R} \frac{1}{2}u^{2}\,du\,dv = \frac{1}{2}\int_{v=1}^{4}\left(\int_{u=0}^{3} u^{2}\,du\right) dv.
Calculamos a integral interna em u:
\int_{0}^{3} u^{2}\,du=\left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{3^{3}}{3}-0=\frac{27}{3}=9.
Substituindo de volta:
\frac{1}{2}\int_{1}^{4} 9\,dv = \frac{1}{2}\cdot 9 \cdot (4-1)=\frac{1}{2}\cdot 9\cdot 3=\frac{27}{2}.

Resposta

\dfrac{27}{2}

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