Seja D a região limita por x+y=0, x+y=3, x-y=1 e x-y=4. Calcule
\iint_{D}(x+y)^{2} d A
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+y)^{2}\,dA
onde D é a região limitada pelas quatro retas
x+y=0,\quad x+y=3,\quad x-y=1,\quad x-y=4.
Informações dadas que vamos usar:
As quatro equações das retas que limitam a região.
A função a ser integrada é (x+y)^{2}.
A partir daqui começamos a pensar em uma forma eficiente de calcular essa integral.
Passo 2
Escolha do método: note que a integranda depende apenas da combinação x+y. Além disso, as retas que limitam D são exatamente retas do tipo x+y=\text{constante} e x-y=\text{constante}. Por isso é natural usar a mudança de variáveis
u = x+y,\qquad v = x-y,
pois isso transforma as linhas que limitam D em retas de coordenadas constantes, simplificando muito a região de integração e a integranda. Vou explicar direitinho como fazer essa mudança e como calcular o fator de escala (Jacobiano).
Passo 3
Encontrando a inversa da transformação e o Jacobiano. Primeiro escrevemos x,y em função de u,v. Somando e subtraindo: