Seja D a região limita por y=x, y=2 x, y+x=1 e y+x=2. Calcule
\iint_{D}(x+y) d A

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{D}(x+y)\,dA,
onde D é a região limitada pelas retas y=x, y=2x, y+x=1 e y+x=2.
Informações relevantes fornecidas:
\text{fronteiras: } y=x,\quad y=2x,\quad x+y=1,\quad x+y=2.
A tarefa é avaliar a integral de x+y sobre a região D.

Passo 2

Escolha do método. Vou usar uma mudança de variáveis que deixe a região simples e aproveite a forma do integrando. Observando as fronteiras, notamos duas famílias de retas:
  • as retas x+y= constante;
  • as retas y/x= constante (ou seja, y=kx).
Por isso escolho as novas variáveis
u = x+y,\qquad v = \frac{y}{x}.
Motivo: as quatro retas do contorno viram retas de equações simples em (u,v): u será igual a 1 ou 2 nas duas retas x+y=1 e x+y=2; v será igual a 1 ou 2 nas retas y=x e y=2x. Além disso o integrando x+y passa a ser simplesmente u, o que facilita muito. Agora precisamos:
  1. Escrever x e y em função de u e v.
  2. Calcular o jacobiano \displaystyle\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|.
  3. Transformar a integral para (u,v) e integrar sobre a nova região.

Passo 3

Inversão da mudança de variáveis. A partir de
u = x+y,\qquad v=\frac{y}{x},
temos y = v x. Substituindo em u:
u = x + v x = x(1+v).
Logo
x = \frac{u}{1+v},\qquad y = v x = \frac{v u}{1+v}.

Passo 4

Cálculo do jacobiano \displaystyle J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
Primeiro calculo as derivadas parciais:
x_u = \frac{1}{1+v},\qquad x_v = -\frac{u}{(1+v)^2},
y_u = \frac{v}{1+v},\qquad y_v = \frac{u}{(1+v)^2}.
O determinante é
J = \begin{vmatrix} x_u & x_v\\[4pt] y_u & y_v \end{vmatrix} = x_u y_v - x_v y_u.
Substituindo:
J = \frac{1}{1+v}\cdot\frac{u}{(1+v)^2} - \left(-\frac{u}{(1+v)^2}\right)\cdot\frac{v}{1+v}.
Colocando em evidência \dfrac{u}{(1+v)^3}:
J = \frac{u}{(1+v)^3}\bigl(1+v\bigr)=\frac{u}{(1+v)^2}.
Como u>0 e 1+v>0 na região de interesse, o jacobiano absoluto é
\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|=\frac{u}{(1+v)^2}.]

Passo 5

Determinação da nova região em (u,v). Usamos as fronteiras dadas:
y+x=1 \Rightarrow u=1,\qquad y+x=2 \Rightarrow u=2,
y=x \Rightarrow v=1,\qquad y=2x \Rightarrow v=2.
Portanto a região D em coordenadas (u,v) é o retângulo
1\le u\le 2,\qquad 1\le v\le 2.

Passo 6

Transformação do integrando e montagem da integral. Temos x+y=u e dA = \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv. Assim o integrando se torna
(x+y)\,dA = u\cdot\frac{u}{(1+v)^2}\,du\,dv = \frac{u^2}{(1+v)^2}\,du\,dv.
Logo a integral fica
\iint_{D}(x+y)\,dA = \int_{v=1}^{2}\int_{u=1}^{2}\frac{u^2}{(1+v)^2}\,du\,dv.
A integral separa pois o integrando é produto de função em u por função em v.

Passo 7

Cálculo da integral em u:
\int_{u=1}^{2} u^2\,du = \left[\frac{u^3}{3}\right]_{1}^{2} = \frac{8-1}{3}=\frac{7}{3}.

Passo 8

Cálculo da integral em v:
\int_{v=1}^{2}\frac{1}{(1+v)^2}\,dv.
Faço a substituição w=1+v, então quando v=1 temos w=2 e quando v=2 temos w=3. A integral vira
\int_{w=2}^{3} w^{-2}\,dw = \left[-\frac{1}{w}\right]_{2}^{3} = -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}.

Passo 9

Multiplicando as duas partes (porque a integral separou):
\iint_{D}(x+y)\,dA = \frac{7}{3}\cdot\frac{1}{6}=\frac{7}{18}.

Resposta

\displaystyle \frac{7}{18}

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