A tarefa é avaliar a integral de x+y sobre a região D.
Passo 2
Escolha do método. Vou usar uma mudança de variáveis que deixe a região simples e aproveite a forma do integrando. Observando as fronteiras, notamos duas famílias de retas:
as retas x+y= constante;
as retas y/x= constante (ou seja, y=kx).
Por isso escolho as novas variáveis
u = x+y,\qquad v = \frac{y}{x}.
Motivo: as quatro retas do contorno viram retas de equações simples em (u,v): u será igual a 1 ou 2 nas duas retas x+y=1 e x+y=2; v será igual a 1 ou 2 nas retas y=x e y=2x. Além disso o integrando x+y passa a ser simplesmente u, o que facilita muito. Agora precisamos:
Escrever x e y em função de u e v.
Calcular o jacobiano \displaystyle\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|.
Transformar a integral para (u,v) e integrar sobre a nova região.
Passo 3
Inversão da mudança de variáveis. A partir de
u = x+y,\qquad v=\frac{y}{x},
temos y = v x. Substituindo em u:
u = x + v x = x(1+v).
Logo
x = \frac{u}{1+v},\qquad y = v x = \frac{v u}{1+v}.
Passo 4
Cálculo do jacobiano \displaystyle J=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}.
Portanto a região D em coordenadas (u,v) é o retângulo
1\le u\le 2,\qquad 1\le v\le 2.
Passo 6
Transformação do integrando e montagem da integral. Temos x+y=u e dA = \left|\dfrac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right|\,du\,dv. Assim o integrando se torna