Utilize a transformada de Laplace para resolver:
\ddot{x}+x=\cos (2 t), \quad x(0)=0, \quad \dot{x}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
\ddot{x}(t) + x(t) = \cos(2t),
com condições iniciais x(0)=0 e \dot{x}(0)=0, usando transformada de Laplace.
Conteúdo: transformada de Laplace de derivadas e de funções trigonométricas, resolução algébrica em s e transformada inversa.

Passo 2

Tomamos a transformada de Laplace em cada termo. Seja X(s)=\mathcal L\{x(t)\}.
Aplicando as fórmulas
\mathcal L\{\ddot x\}(s)=s^2X(s)-s\,x(0)-\dot x(0)=s^2X(s),
\mathcal L\{x\}(s)=X(s),
\mathcal L\{\cos(2t)\}(s)=\frac{s}{s^2+4},
a equação vira
s^2X(s)+X(s)=\frac{s}{s^2+4}.

Passo 3

Isolando X(s), obtemos
(s^2+1)\,X(s)=\frac{s}{s^2+4} \quad\Longrightarrow\quad X(s)=\frac{s}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 4

Fazemos decomposição em frações parciais. Procuramos constantes A e C tais que
\frac{s}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{A\,s}{s^2+1}+\frac{C\,s}{s^2+4}.
Multiplicando por (s^2+1)(s^2+4) e comparando coeficientes:
s = s\bigl[A(s^2+4)+C(s^2+1)\bigr] \;\Longrightarrow\; 1 = A(s^2+4)+C(s^2+1) =(A+C)\,s^2+(4A+C).
Igualando coeficientes de s^2 e termo independente:
A+C=0, \quad 4A+C=1 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac13,\; C=-\tfrac13.
Logo
X(s)=\frac{1}{3}\,\frac{s}{s^2+1} -\frac{1}{3}\,\frac{s}{s^2+4}.

Passo 5

Aplicamos a transformada inversa sabendo que
\mathcal L^{-1}\Bigl\{\frac{s}{s^2+a^2}\Bigr\}(t)=\cos(a\,t).
Assim
x(t) =\frac{1}{3}\cos(t) -\frac{1}{3}\cos(2t).

Resposta

x(t)=\frac{1}{3}\bigl[\cos(t)-\cos(2t)\bigr].

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