Usando coordenadas esféricas, determine o volume:
da porção da esfera sólida rho <= a que está entre os cones phi=pi / 3 e phi=2 pi / 3.

Passo 1

O enunciado pede o volume da região da esfera sólida rho<= a que fica entre os cones phi=pi/3 e phi=2pi/3. O conteúdo é integração tripla em coordenadas esféricas, onde vamos usar o jacobiano rho^2sinphi e escolher limites adequados para rho, phi e theta.

Passo 2

Em coordenadas esféricas o elemento de volume é
dV = rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta
Os limites são
rho de 0 até a,
phi de pi/3 até 2pi/3,
theta de 0 até 2pi.
Logo
V = integraltheta=0^2piintegralphi=pi/3^2pi/3integralrho=0^a rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 3

Primeiro integramos em rho:
integral0^arho^2,drho =l[tfracrho^33r]0^a =a^33
Então
V = a^33 integral0^2pi!!dtheta integralpi/3^2pi/3sinphi,dphi

Passo 4

Agora a integral em theta é simples:
integral0^2pidtheta = 2pi,
portanto
V = 2pi,a^33 integralpi/3^2pi/3sinphi,dphi

Passo 5

Falta a integral em phi. Como integralsinphi,dphi=-cosphi, temos
integralpi/3^2pi/3sinphi,dphi =l[-cosphir]pi/3^2pi/3 =-cosl(2pi/3r)+cosl(pi/3r) =-l(-tfrac12r)+tfrac12 =1
Logo
V = 2pi,a^33cdot 1 =2pi,a^33

Resposta

2pi,a^33

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