Resolva a equação diferencial pelo método de separação de variáveis.
(x^2+4)(y^2+1))+(x^2-4)(y^2-1) d yd x=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver por separação de variáveis a equação
(x^2+4)(y^2+1)+(x^2-4)(y^2-1)dydx=0
ou seja, a ideia é isolar dydx, separar as partes que dependem só de x e só de y, integrar cada lado e obter a solução geral.

Passo 2

Isolando dydx e separando as variáveis:
(x^2-4)(y^2-1)dydx = -(x^2+4)(y^2+1)
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y^2-1y^2+1,dy = -x^2+4x^2-4,dx

Passo 3

Agora integramos cada lado:
Do lado de y:
integral y^2-1y^2+1,dy = integrall(1-2y^2+1r)dy = y - 2arctan(y)
Do lado de x:
-integral x^2+4x^2-4,dx = -integrall(1+8x^2-4r)dx = -x -8integral dxx^2-4
Mas
integral dxx^2-4 = 14lnl|x-2x+2r|
então o lado de x fica
-x -2lnl|x-2x+2r|

Passo 4

Reunindo as integrais e introduzindo a constante de integração C, obtemos a solução geral implícita:
y - 2arctan(y) = -x - 2lnl|x-2x+2r| + C
Rearranjando dá
x + y - 2arctan(y) + 2lnl|x-2x+2r| = C

Resposta

A solução geral da equação é dada implicitamente por
x + y - 2arctan(y) + 2lnl|x-2x+2r| = C,
onde C é constante de integração.

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