Considere a seguinte equaçáo diferencial em que a é uma constante real:
4 x^3 y^2+8 x+(a x^4 y+4 y) y^prime=0
A partir do valor de a obtido, determine a solução implícita da equação que satisfaz y(-2)=1.

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial dada:
4 x^3 y^2 + 8 x + (a x^4 y + 4 y) y^prime = 0
Para isso, precisamos encontrar o valor da constante que torna a equação exata e, em seguida, determinar a solução implícita que satisfaz a condição inicial . Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver este problema.

Passo 2

Primeiro, identificamos os termos M(x, y) = 4x^3 y^2 + 8x e N(x, y) = a x^4 y + 4 y na equação diferencial:
Para que a equação seja exata, a condição deve ser satisfeita. Vamos calcular essas derivadas parciais.

Passo 3

Calculamos partial Mpartial y = 8x^3 y :
partial Npartial x = 4a x^3 y
E 8x^3 y = 4a x^3 y :
2 = a
Igualando as duas derivadas para encontrar :
Dividindo ambos os lados por (considerando e ):
Portanto, .

Passo 4

Com 4x^3 y^2 + 8x + (2x^4 y + 4 y) y' = 0 , a equação diferencial exata fica:
partial Fpartial x = M(x, y) = 4x^3 y^2 + 8x
Agora, vamos encontrar a função potencial F(x, y) = integral (4x^3 y^2 + 8x) , dx = y^2 x^4 + 4x^2 + h(y) tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que será determinada.

Passo 5

Para encontrar partial Fpartial y = 2x^4 y + h'(y) = 2x^4 y + 4 y , derivamos h'(y) = 4y Rightarrow h(y) = 2y^2 + C em relação a F(x, y) = y^2 x^4 + 4x^2 + 2y^2 = C e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Então, a função potencial completa é:

Passo 6

Utilizamos a condição inicial (1)^2 cdot (-2)^4 + 4(-2)^2 + 2(1)^2 = C para determinar a constante 1 cdot 16 + 4 cdot 4 + 2 = C :
16 + 16 + 2 = 34
Portanto, .

Resposta

A solução implícita que satisfaz y^2 (x^4 + 2) + 4x^2 = 34 é:

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