Considere a seguinte equaçáo diferencial em que
é uma constante real:
A partir do valor de
obtido, determine a solução implícita da equação que satisfaz
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial dada:
Para isso, precisamos encontrar o valor da constante
que torna a equação exata e, em seguida, determinar a solução implícita que satisfaz a condição inicial
. Vamos utilizar conceitos de equações diferenciais exatas para resolver este problema.
Passo 2
Primeiro, identificamos os termos
e
na equação diferencial:
Para que a equação seja exata, a condição
deve ser satisfeita. Vamos calcular essas derivadas parciais.
Passo 3
Calculamos
:
E
:
Igualando as duas derivadas para encontrar
:
Dividindo ambos os lados por
(considerando
e
):
Portanto,
.
Passo 4
Com
, a equação diferencial exata fica:
Agora, vamos encontrar a função potencial
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
que será determinada.
Passo 5
Para encontrar
, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Então, a função potencial completa é:
Passo 6
Utilizamos a condição inicial
para determinar a constante
:
Portanto,
.
Resposta
A solução implícita que satisfaz
é: