Resolva a equação diferencial de 4 ^ a ordem:
y^prime prime prime-4 y^prime prime=3 x^3-2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de coeficientes constantes
y''' - 4y'' = 3x^3 - 2x + 1
O conteúdo aqui é método dos coeficientes indeterminados: primeiro achamos a solução geral da equação homogênea associada, depois um particular para a parte não homogênea polinomial, e por fim somamos as duas para obter a solução geral.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos
y''' - 4y'' = 0
Assumindo y=e^rx obtemos a equação característica
r^3 - 4r^2 = r^2(r - 4) = 0,
cuja raízes são r=0 (multiplicidade 2) e r=4. Logo a solução homogênea é
yh = C1 + C2 x + C3 e^4x

Passo 3

Como o termo não homogêneo 3x^3 -2x +1 é um polinômio de grau 3 e a raiz r=0 da homogênea tem multiplicidade 2, multiplicamos o ansatz polinomial por x^2. Assim propomos
yp = a x^5 + b x^4 + c x^3 + d x^2

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias:
yp'' = 20a,x^3 + 12b,x^2 + 6c,x + 2d,
yp''' = 60a,x^2 + 24b,x + 6c

Passo 5

Substituindo em y''' -4y'' temos
yp''' - 4yp'' = l(60a,x^2 + 24b,x + 6cr) -4l(20a,x^3 + 12b,x^2 + 6c,x + 2dr)
= -80a,x^3 + (60a-48b),x^2 + (24b-24c),x + (6c-8d)
Igualando ao lado direito 3x^3 -2x +1 obtemos o sistema
-80a = 3, 60a-48b = 0, 24b-24c = -2, 6c-8d = 1
Resolvendo,
a = -tfrac380, b = -tfrac364, c = tfrac7192, d = -tfrac25256

Passo 6

Portanto um particular é
yp = -tfrac380x^5 ;-;tfrac364x^4 ;+;tfrac7192x^3 ;-;tfrac25256x^2
A solução geral é a soma de yh e yp.

Resposta

y(x) = C1 + C2,x + C3,e^4x -tfrac380x^5 - tfrac364x^4 + tfrac7192x^3 - tfrac25256x^2

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