Calcule:
lim x -infty(1+2x)^3 x

Passo 1

O enunciado pede
limxto -inftyl(1+tfrac2xr)^3x.
É um caso indeterminado do tipo 1^infty, então vamos usar o logaritmo natural.

Passo 2

Definimos
L = limxto -inftyl(1+tfrac2xr)^3x
Tomando logaritmo natural, obtém-se
ln L = limxto -infty3x;ln!l(1+tfrac2xr)

Passo 3

Para u=2/x pequeno, vale a expansão
ln(1+u)=u+o(u)
Aqui u=2/x, logo
ln!l(1+tfrac2xr)=tfrac2x+o!l(tfrac1xr)
Multiplicando por 3x,
3xln!l(1+tfrac2xr) =3xl(tfrac2x+o(tfrac1x)r) =6+o(1)
Então ln L=6.

Passo 4

Voltando da definição de L,
L = e^ln L = e^6

Resposta

e^6

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