Resolva a equação diferencial ordinária linear não-homogênea de
ordem
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
O que o problema pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial para
em algum intervalo contendo
e que também satisfaça a condição inicial
.
Informações relevantes fornecidas:
- A equação é de primeira ordem e linear em
. - Há um coeficiente
multiplicando , então a equação está escrita em forma não-normalizada; é preciso atentar que . - A condição inicial está em
, portanto a solução que interessa será no intervalo onde (pelo menos num intervalo contendo ).
Passo 2
Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem,
ou seja,
ou seja,
Dividindo a equação dada por
(válido para
) obtemos
Aqui identificamos explicitamente as funções:
Explicação rápida do que isso significa: a equação está agora em uma forma padrão em que existe uma técnica direta (fator integrante) para encontrar a solução geral.
Passo 3
Apresentando a ideia do fator integrante (de forma didática):
- Para uma equação na forma
procuramos uma função tal que, ao multiplicar toda a equação por , o lado esquerdo vire a derivada de ; isto facilita a integração. - A condição para isso é
. Essa é uma equação separável para , cuja solução é
Aqui
é a função que apareceu na forma padrão;
é chamada de fator integrante. A motivação é transformar o lado esquerdo em
, porque
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso:
Logo
Como a condição inicial está em
, podemos escolher
trabalhando no intervalo
. (Se estivéssemos estudando
usaríamos
, mas o procedimento é análogo.)
Passo 5
Multiplicamos a equação padrão por
. A equação
fica
que é a mesma forma original (confirmando consistência). Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto:
Portanto a equação transformada é
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
:
A integral da derivada dá
e a integral do lado direito é
mais uma constante arbitrária
. Assim
Isolando
para obter a solução geral (com a constante
) resulta
Observação: esta é a família de soluções gerais válidas em qualquer intervalo onde
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
e
na expressão geral:
Daí obtemos
Passo 8
Verificação rápida (não usando a forma final escrita): a derivada da solução geral
é
Multiplicando por
e somando
temos
que confirma que a família de soluções gerais satisfaz a equação para qualquer
. Como o valor de
foi fixado por
, a solução particular obtida satisfaz também a condição inicial.
Passo 9
Observação sobre domínio: a solução particular encontrada é válida no intervalo
(pois usamos
e a condição inicial está em
). A equação original não está definida em
, então nenhum ramo atravessa
.