Resolva a equação diferencial ordinária linear não-homogênea de 1^{\circ} ordem \left\{\begin{array}{c}x \frac{d y}{d x}+y=3 x \\\ y(1)=0\end{array}\right..

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e a condição inicial:
x\frac{dy}{dx}+y=3x, \qquad y(1)=0.
O que o problema pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial para x em algum intervalo contendo x=1 e que também satisfaça a condição inicial y(1)=0.
Informações relevantes fornecidas:
  • A equação é de primeira ordem e linear em y.
  • Há um coeficiente x multiplicando \dfrac{dy}{dx}, então a equação está escrita em forma não-normalizada; é preciso atentar que x\neq 0.
  • A condição inicial está em x=1, portanto a solução que interessa será no intervalo onde x>0 (pelo menos num intervalo contendo 1).

Passo 2

Primeiro passo prático: colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem,
ou seja,
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Dividindo a equação dada por x (válido para x\neq 0) obtemos
\frac{dy}{dx}+\frac{1}{x}y=3.
Aqui identificamos explicitamente as funções:
P(x)=\frac{1}{x},\qquad Q(x)=3.
Explicação rápida do que isso significa: a equação está agora em uma forma padrão em que existe uma técnica direta (fator integrante) para encontrar a solução geral.

Passo 3

Apresentando a ideia do fator integrante (de forma didática):
  • Para uma equação na forma \dfrac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x) procuramos uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar toda a equação por \mu(x), o lado esquerdo vire a derivada de \mu(x)y; isto facilita a integração.
  • A condição para isso é \mu'(x)=\mu(x)P(x). Essa é uma equação separável para \mu, cuja solução é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Aqui P(x) é a função que apareceu na forma padrão; \mu(x) é chamada de fator integrante. A motivação é transformar o lado esquerdo em \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big), porque
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu' y=\mu\frac{dy}{dx}+\mu P y.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso:
P(x)=\frac{1}{x}\quad\Longrightarrow\quad \int P(x)\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
Logo
\mu(x)=e^{\ln|x|}=|x|.
Como a condição inicial está em x=1>0, podemos escolher \mu(x)=x trabalhando no intervalo x>0. (Se estivéssemos estudando x<0 usaríamos \mu(x)=-x, mas o procedimento é análogo.)

Passo 5

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x. A equação \dfrac{dy}{dx}+\dfrac{1}{x}y=3 fica
x\frac{dy}{dx}+y=3x,
que é a mesma forma original (confirmando consistência). Agora reconhecemos o lado esquerdo como a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=x\frac{dy}{dx}+y.
Portanto a equação transformada é
\frac{d}{dx}\big(xy\big)=3x.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(xy\big)\,dx=\int 3x\,dx.
A integral da derivada dá xy e a integral do lado direito é \dfrac{3}{2}x^2 mais uma constante arbitrária C. Assim
xy=\frac{3}{2}x^2+C.
Isolando y para obter a solução geral (com a constante C) resulta
y=\frac{3}{2}x+\frac{C}{x}.
Observação: esta é a família de soluções gerais válidas em qualquer intervalo onde x\neq 0.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=0. Substituindo x=1 e y(1)=0 na expressão geral:
0=\frac{3}{2}\cdot 1+\frac{C}{1}=\frac{3}{2}+C.
Daí obtemos
C=-\frac{3}{2}.

Passo 8

Verificação rápida (não usando a forma final escrita): a derivada da solução geral y=\dfrac{3}{2}x+\dfrac{C}{x} é
\frac{dy}{dx}=\frac{3}{2}-\frac{C}{x^2}.
Multiplicando por x e somando y temos
x\frac{dy}{dx}+y = x\!\left(\frac{3}{2}-\frac{C}{x^2}\right)+\left(\frac{3}{2}x+\frac{C}{x}\right) = \frac{3}{2}x-\frac{C}{x}+\frac{3}{2}x+\frac{C}{x}=3x,
que confirma que a família de soluções gerais satisfaz a equação para qualquer C. Como o valor de C foi fixado por C=-\dfrac{3}{2}, a solução particular obtida satisfaz também a condição inicial.

Passo 9

Observação sobre domínio: a solução particular encontrada é válida no intervalo x>0 (pois usamos \mu(x)=x e a condição inicial está em x=1). A equação original não está definida em x=0, então nenhum ramo atravessa x=0.

Resposta

y(x)=\frac{3}{2}\!\left(x-\frac{1}{x}\right),\qquad x>0.

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