Resolva a equação
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
(ou uma forma implícita aceitável) da equação. Informações úteis extraídas do enunciado:
- A incógnita é a função
dependente de . - A equação está escrita na forma
onde podemos identificar
Passo 2
Observação sobre o método que vamos usar (explicação didática, passo a passo): quando uma equação tem a forma
podemos escrever como forma diferencial
Se essa 1-forma for exata, existe uma função potencial
tal que
e a solução geral é
. A condição de exatidão é
Vamos verificar essa condição calculando as derivadas parciais.
Passo 3
Cálculo das derivadas parciais:
Primeiro,
Segundo,
Como
a equação é exata. Isto significa que existe
com
e
.
Passo 4
Construção da função potencial
(método clássico): integramos
em relação a
, tratando
como constante, e adicionamos uma função arbitrária de
,
, porque a integração em
pode omitir termos que dependem apenas de
.
Integramos
em
:
Detalhando as integrais:
(porque
é constante quando integramos em
). Assim
onde
é uma função desconhecida de
só.
Passo 5
Determinar
comparando
com
. Calculamos
Pelo requisito
, temos
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, obtemos
Integramos em relação a
:
onde
é uma constante. Essa constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita.
Passo 6
Montando
com
encontrado:
A condição
dá a solução implícita geral. Podemos escrever a solução geral simplesmente como
onde
é constante arbitrária (absorvendo
no lado direito).
Passo 7
Verificação rápida (para justificar que não cometemos erro): diferenciando implicitamente
temos
A condição
reproduz exatamente a equação original, então a solução implícita está correta. Observação: não é possível, em geral, isolar
em função de
por uma fórmula elementar a partir desta expressão; a forma implícita é a forma adequada da solução.