Resolva a equação 3 x^{2} y+e^{y}+\left(x^{3}+x e^{y}-2 y\right) y^{\prime}=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
3 x^{2} y + e^{y} + \bigl(x^{3} + x e^{y} - 2 y\bigr) y' = 0.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) (ou uma forma implícita aceitável) da equação. Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A incógnita é a função y dependente de x.
  • A equação está escrita na forma
M(x,y) + N(x,y)\,y' = 0,
onde podemos identificar
M(x,y)=3 x^{2} y + e^{y}, \qquad N(x,y)=x^{3} + x e^{y} - 2 y.

Passo 2

Observação sobre o método que vamos usar (explicação didática, passo a passo): quando uma equação tem a forma M(x,y)+N(x,y)\,y'=0 podemos escrever como forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0.
Se essa 1-forma for exata, existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M(x,y), \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N(x,y),
e a solução geral é \Phi(x,y)=C. A condição de exatidão é
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}.
Vamos verificar essa condição calculando as derivadas parciais.

Passo 3

Cálculo das derivadas parciais:
Primeiro,
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(3 x^{2} y + e^{y}\bigr) = 3 x^{2} + e^{y}.
Segundo,
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{3} + x e^{y} - 2 y\bigr) = 3 x^{2} + e^{y}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} + e^{y} = \frac{\partial N}{\partial x},
a equação é exata. Isto significa que existe \Phi(x,y) com \Phi_x=M e \Phi_y=N.

Passo 4

Construção da função potencial \Phi(x,y) (método clássico): integramos M em relação a x, tratando y como constante, e adicionamos uma função arbitrária de y, h(y), porque a integração em x pode omitir termos que dependem apenas de y.
Integramos
M(x,y)=3 x^{2} y + e^{y}
em x:
\Phi(x,y)=\int \bigl(3 x^{2} y + e^{y}\bigr)\,dx = y\int 3 x^{2}\,dx + \int e^{y}\,dx.
Detalhando as integrais:
\int 3 x^{2}\,dx = x^{3}, \qquad \int e^{y}\,dx = x e^{y}
(porque e^{y} é constante quando integramos em x). Assim
\Phi(x,y)=x^{3} y + x e^{y} + h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida de y só.

Passo 5

Determinar h(y) comparando \Phi_{y} com N. Calculamos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{3} y + x e^{y} + h(y)\bigr) = x^{3} + x e^{y} + h'(y).
Pelo requisito \Phi_{y}=N, temos
x^{3} + x e^{y} + h'(y) = x^{3} + x e^{y} - 2 y.
Cancelando os termos iguais em ambos os lados, obtemos
h'(y) = -2 y.
Integramos em relação a y:
h(y) = \int (-2 y)\,dy = - y^{2} + C_{0},
onde C_{0} é uma constante. Essa constante pode ser absorvida na constante final da solução implícita.

Passo 6

Montando \Phi com h(y) encontrado:
\Phi(x,y) = x^{3} y + x e^{y} - y^{2} + C_{0}.
A condição \Phi(x,y) = \text{constante} dá a solução implícita geral. Podemos escrever a solução geral simplesmente como
x^{3} y + x e^{y} - y^{2} = C,
onde C é constante arbitrária (absorvendo C_{0} no lado direito).

Passo 7

Verificação rápida (para justificar que não cometemos erro): diferenciando implicitamente
\Phi(x,y)=x^{3} y + x e^{y} - y^{2},
temos
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=3 x^{2} y + e^{y}=M, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=x^{3} + x e^{y} - 2 y = N.
A condição \Phi_x + \Phi_y\,y' = 0 reproduz exatamente a equação original, então a solução implícita está correta. Observação: não é possível, em geral, isolar y em função de x por uma fórmula elementar a partir desta expressão; a forma implícita é a forma adequada da solução.

Resposta

x^{3} y + x e^{y} - y^{2} = C

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