Resolva a equação diferencial redutível à exata
.
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
e pede encontrar a solução geral (isto é, resolver a equação). \n
Informações dadas e o que se pede:
Informações dadas e o que se pede:
- A equação envolve
, e . - Os termos algébricos e exponenciais aparecem combinados com
e . - Objetivo: obter a solução implícita (ou explícita, se der) para
em função de , incluindo a constante de integração.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
identificando
e
. Comparando com a equação dada, temos
Essa forma é útil porque existe uma técnica que tenta ver se a equação é “exata”: existe uma função potencial
tal que
e
. Se for exata, a solução é
.
Passo 3
Testar exatidão diretamente: calcular as derivadas parciais
Como
a equação original NÃO é exata. Então precisamos tentar torná-la exata multiplicando por um fator integrante (integrating factor) apropriado.
Passo 4
Explicar e procurar um fator integrante dependente só de
. \n
Motivo e fórmula (didática): se existir um fator integrante que depende apenas de
, então a equação multiplicada por
deve satisfazer a condição de exatidão:
Motivo e fórmula (didática): se existir um fator integrante
Desenvolvendo essa igualdade e isolando
obtém-se a condição prática
O lado direito deve ser função apenas de
para que
dependa só de
. Se isso acontecer, então
Passo 5
Calcular o quociente
usando os
e
identificados:
Observe que esse resultado é exatamente
, que é uma função apenas de
(na verdade constante). Portanto existe um fator integrante que depende apenas de
. Agora calculamos
:
Passo 6
Multiplicar a equação original por
. A equação transformada é
Definindo os novos coeficientes
e
:
Verificar exatidão (checar as parciais):
portanto
e a equação multiplicada por
é exata. Bom! Agora podemos achar a função potencial
tal que
Passo 7
Determinar
integrando
em
(tratando
como constante):
Calcular as integrais:
Substituindo:
onde
é uma função arbitrária de
(constantemente de integração em relação a
).
Passo 8
Encontrar
impondo
. Calcular
:
Comparar com
. Assim
Logo
é constante; podemos absorver essa constante na constante final da solução.
Passo 9
A solução implícita (função potencial igual a constante) é
onde
é a constante de integração. Pode-se também escrever de forma factorizada: