Resolva a equação diferencial redutível à exata \frac{y^{2}}{2}+2 y e^{x}+\left(y+e^{x}\right) \frac{d y}{d x}=0.

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
\frac{y^{2}}{2}+2y e^{x}+\left(y+e^{x}\right)\frac{d y}{d x}=0
e pede encontrar a solução geral (isto é, resolver a equação). \n
Informações dadas e o que se pede:
  • A equação envolve x, y(x) e \dfrac{dy}{dx}.
  • Os termos algébricos e exponenciais aparecem combinados com y e \dfrac{dy}{dx}.
  • Objetivo: obter a solução implícita (ou explícita, se der) para y em função de x, incluindo a constante de integração.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão
M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}=0,
identificando M e N. Comparando com a equação dada, temos
M(x,y)=\frac{y^{2}}{2}+2y e^{x}, \qquad N(x,y)=y+e^{x}.
Essa forma é útil porque existe uma técnica que tenta ver se a equação é “exata”: existe uma função potencial \Phi(x,y) tal que \dfrac{\partial\Phi}{\partial x}=M e \dfrac{\partial\Phi}{\partial y}=N. Se for exata, a solução é \Phi(x,y)=C.

Passo 3

Testar exatidão diretamente: calcular as derivadas parciais
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\!\left(\frac{y^{2}}{2}+2y e^{x}\right)=y+2e^{x},
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\!(y+e^{x})=e^{x}.
Como
\frac{\partial M}{\partial y}=y+2e^{x}\neq e^{x}=\frac{\partial N}{\partial x},
a equação original NÃO é exata. Então precisamos tentar torná-la exata multiplicando por um fator integrante (integrating factor) apropriado.

Passo 4

Explicar e procurar um fator integrante dependente só de x. \n
Motivo e fórmula (didática): se existir um fator integrante \mu(x) que depende apenas de x, então a equação multiplicada por \mu(x) deve satisfazer a condição de exatidão:
\frac{\partial}{\partial y}\big(\mu M\big)=\frac{\partial}{\partial x}\big(\mu N\big).
Desenvolvendo essa igualdade e isolando \mu'/\mu obtém-se a condição prática
\frac{\mu'(x)}{\mu(x)}=\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}.
O lado direito deve ser função apenas de x para que \mu dependa só de x. Se isso acontecer, então
\mu(x)=\exp\left(\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N}\,dx\right).

Passo 5

Calcular o quociente \dfrac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} usando os M e N identificados:
\frac{\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}}{N} =\frac{(y+2e^{x})-e^{x}}{y+e^{x}} =\frac{y+e^{x}}{y+e^{x}}=1.
Observe que esse resultado é exatamente 1, que é uma função apenas de x (na verdade constante). Portanto existe um fator integrante que depende apenas de x. Agora calculamos \mu(x):
\mu(x)=\exp\left(\int 1\,dx\right)=\exp(x)=e^{x}.

Passo 6

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{x}. A equação transformada é
e^{x}\!\left(\frac{y^{2}}{2}+2y e^{x}\right)+e^{x}\!\left(y+e^{x}\right)\frac{dy}{dx}=0.
Definindo os novos coeficientes \widetilde{M} e \widetilde{N}:
\widetilde{M}(x,y)=e^{x}\frac{y^{2}}{2}+2y e^{2x}, \qquad \widetilde{N}(x,y)=y e^{x}+e^{2x}.
Verificar exatidão (checar as parciais):
\frac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=e^{x}y+2e^{2x}, \qquad \frac{\partial \widetilde{N}}{\partial x}=y e^{x}+2e^{2x},
portanto \dfrac{\partial \widetilde{M}}{\partial y}=\dfrac{\partial \widetilde{N}}{\partial x} e a equação multiplicada por e^{x} é exata. Bom! Agora podemos achar a função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=\widetilde{M}, \qquad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}.

Passo 7

Determinar \Phi(x,y) integrando \widetilde{M} em x (tratando y como constante):
\Phi(x,y)=\int\left(e^{x}\frac{y^{2}}{2}+2y e^{2x}\right)dx = \frac{y^{2}}{2}\int e^{x}dx + 2y\int e^{2x}dx.
Calcular as integrais:
\int e^{x}dx=e^{x},\qquad \int e^{2x}dx=\frac{e^{2x}}{2}.
Substituindo:
\Phi(x,y)=\frac{y^{2}}{2}e^{x}+2y\cdot\frac{e^{2x}}{2}+h(y) = \frac{y^{2}}{2}e^{x}+y e^{2x}+h(y),
onde h(y) é uma função arbitrária de y (constantemente de integração em relação a x).

Passo 8

Encontrar h(y) impondo \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}=\widetilde{N}. Calcular \dfrac{\partial \Phi}{\partial y}:
\frac{\partial \Phi}{\partial y}=y e^{x}+e^{2x}+h'(y).
Comparar com \widetilde{N}=y e^{x}+e^{2x}. Assim
y e^{x}+e^{2x}+h'(y)=y e^{x}+e^{2x}\quad\Rightarrow\quad h'(y)=0.
Logo h(y) é constante; podemos absorver essa constante na constante final da solução.

Passo 9

A solução implícita (função potencial igual a constante) é
\Phi(x,y)=\frac{y^{2}}{2}e^{x}+y e^{2x}=C,
onde C é a constante de integração. Pode-se também escrever de forma factorizada:
e^{x}\!\left(\frac{y^{2}}{2}+y e^{x}\right)=C.

Resposta

\frac{y^{2}}{2}e^{x}+y e^{2x}=C

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