1. Resolva a Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem com Variáveis Separáveis.
\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{e^{2 y}}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{d y}{d x}=\frac{x+1}{e^{2 y}}
e pede para resolver (achar a solução geral). Informações relevantes: a equação é explícita em \frac{dy}{dx} e o lado direito é uma função do produto de uma função de x e uma função de y reorganizável. Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constante arbitrária.

Passo 2

A estratégia é separar as variáveis (colocar todos os termos em y com dy e todos os termos em x com dx) e depois integrar cada lado. Para isto multiplicamos ambos os lados por e^{2y} e por dx; operações algébricas simples preservam a igualdade desde que não multipliquemos por algo que seja zero em um passo inválido (aqui e^{2y}>0 sempre, então é seguro). Fazendo isso obtemos
e^{2y}\,dy = (x+1)\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou calcular a integral do lado esquerdo com calma. Precisamos de
\int e^{2y}\,dy.
Fazemos a substituição simples u=2y. Então du=2\,dy ou dy=\dfrac{du}{2}. Substituindo,
\int e^{2y}\,dy = \int e^{u}\cdot \frac{du}{2} = \frac{1}{2}\int e^{u}\,du = \frac{1}{2}e^{u} + C = \frac{1}{2}e^{2y} + C.
Aqui C é uma constante de integração (vou usar constantes distintas nos dois lados e depois juntá‑las).

Passo 4

Agora a integral do lado direito:
\int (x+1)\,dx.
Integramos termo a termo: \int x\,dx = \dfrac{1}{2}x^{2} e \int 1\,dx = x. Portanto
\int (x+1)\,dx = \frac{1}{2}x^{2} + x + C.
(Novamente C representa uma constante de integração; mais adiante juntamos as constantes dos dois lados.)

Passo 5

Igualando as duas integrais obtém‑se
\frac{1}{2}e^{2y} = \frac{1}{2}x^{2} + x + C,
onde C aqui já é a constante resultante da combinação das constantes de integração de cada lado. Multiplicando por 2 para simplificar,
e^{2y} = x^{2} + 2x + C',
onde reescrevi a constante como C' = 2C (ainda é uma constante arbitrária real).

Passo 6

Para isolar y tomamos logaritmo natural. Como e^{2y}>0, o lado direito precisa ser positivo onde a solução for considerada; isso impõe a condição x^{2}+2x+C'>0 no domínio da solução. Aplicando \ln,
2y = \ln\bigl(x^{2}+2x+C'\bigr).
Dividindo por 2,
y = \frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2x+C'\bigr).
Aqui C' é uma constante arbitrária real escolhida de modo que x^{2}+2x+C'>0 (ou, em outra formulação, podemos deixar a forma implícita e^{2y}=x^{2}+2x+C').

Passo 7

Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução explícita
y=\frac{1}{2}\ln\bigl(Q(x)\bigr),\quad Q(x)=x^{2}+2x+C',
temos
\frac{dy}{dx}=\frac{1}{2}\cdot\frac{Q'(x)}{Q(x)}=\frac{1}{2}\cdot\frac{2x+2}{Q(x)}=\frac{x+1}{Q(x)}.
Como Q(x)=x^{2}+2x+C'=e^{2y} pela solução implícita, isso dá exatamente \dfrac{dy}{dx}=\dfrac{x+1}{e^{2y}}, confirmando que a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{1}{2}\ln\bigl(x^{2}+2x+C\bigr),\quad \text{com }C\in\mathbb{R}\text{ e }x^{2}+2x+C>0.

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