- Resolva a Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem com Variáveis Separáveis.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
e pede para resolver (achar a solução geral). Informações relevantes: a equação é explícita em
e o lado direito é uma função do produto de uma função de
e uma função de
reorganizável. Não há condições iniciais fornecidas, então queremos a solução geral com constante arbitrária.
Passo 2
A estratégia é separar as variáveis (colocar todos os termos em
com
e todos os termos em
com
) e depois integrar cada lado. Para isto multiplicamos ambos os lados por
e por
; operações algébricas simples preservam a igualdade desde que não multipliquemos por algo que seja zero em um passo inválido (aqui
sempre, então é seguro). Fazendo isso obtemos
Passo 3
Agora integramos ambos os lados. Vou calcular a integral do lado esquerdo com calma. Precisamos de
Fazemos a substituição simples
. Então
ou
. Substituindo,
Aqui
é uma constante de integração (vou usar constantes distintas nos dois lados e depois juntá‑las).
Passo 4
Agora a integral do lado direito:
Integramos termo a termo:
e
. Portanto
(Novamente
representa uma constante de integração; mais adiante juntamos as constantes dos dois lados.)
Passo 5
Igualando as duas integrais obtém‑se
onde
aqui já é a constante resultante da combinação das constantes de integração de cada lado. Multiplicando por
para simplificar,
onde reescrevi a constante como
(ainda é uma constante arbitrária real).
Passo 6
Para isolar
tomamos logaritmo natural. Como
, o lado direito precisa ser positivo onde a solução for considerada; isso impõe a condição
no domínio da solução. Aplicando
,
Dividindo por
,
Aqui
é uma constante arbitrária real escolhida de modo que
(ou, em outra formulação, podemos deixar a forma implícita
).
Passo 7
Verificação rápida (para ganhar confiança): derivando a solução explícita
temos
Como
pela solução implícita, isso dá exatamente
, confirmando que a solução está correta.