- Resolva a Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
Informações dadas:
Pergunta do enunciado: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial acima (solução geral).
Passo 2
Escolha do método: vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Motivo: a equação já está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
onde aqui
e
. O método do fator integrante é direto e eficiente para esse tipo de equação e é normalmente o primeiro método ensinado — é prático para aplicar em prova. Agora explico a ideia do método de forma didática.
Explicação do método (aula curta):
- Se tivermos
, definimos o fator integrante
- Multiplicando a equação por
obtemos
- O lado esquerdo se torna a derivada do produto
. Assim podemos integrar ambos os lados e resolver para . As variáveis: é a função desconhecida; é a variável independente; e são as funções dadas na equação.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Aqui
(constante), então
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
. Escrevendo:
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
onde
é constante de integração. Vamos calcular a integral do lado direito, separando:
A segunda integral é simples:
A primeira integral
fazemos por partes. Lembre que a fórmula de integração por partes é
Escolhemos
e
. Então
e
. Aplicando:
Portanto somando as duas parcelas:
Assim
Passo 6
Isolamos
dividindo por
:
Simplificando termo a termo:
Observe que
. Portanto a solução geral fica
onde
é constante arbitrária.
Passo 7
Verificação rápida (checagem): podemos calcular
da solução encontrada e formar
. Será que obtém
? Uma verificação rápida (deixe-me mostrar de forma resumida):
- Derivando
: . - Somando
: . - Simplificando os termos (os de
e de se cancelam adequadamente) obtemos . Isso confirma que a solução está correta.
Resposta
onde
é constante arbitrária.