1. Resolva a Equação Diferencial Ordinária de Primeira Ordem.
\frac{d y}{d x}+3 . y(x)=x+e^{-2 x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária de primeira ordem
\frac{d y}{d x} + 3 \cdot y(x) = x + e^{-2x}.
Informações dadas:
\text{(i) A equação é } \frac{dy}{dx} + 3y = x + e^{-2x}.çãé
\text{(ii) Não há condições iniciais; portanto queremos a solução geral (com constante arbitrária).}ãáçõçãá
Pergunta do enunciado: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial acima (solução geral).

Passo 2

Escolha do método: vamos usar o método do fator integrante (integrating factor). Motivo: a equação já está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + p(x)\,y = q(x),
onde aqui p(x)=3 e q(x)=x+e^{-2x}. O método do fator integrante é direto e eficiente para esse tipo de equação e é normalmente o primeiro método ensinado — é prático para aplicar em prova. Agora explico a ideia do método de forma didática.
Explicação do método (aula curta):
  • Se tivermos \dfrac{dy}{dx} + p(x)y = q(x), definimos o fator integrante
\mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}.
  • Multiplicando a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)\frac{dy}{dx} + \mu(x)p(x)y = \mu(x)q(x).
  • O lado esquerdo se torna a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big). Assim podemos integrar ambos os lados e resolver para y. As variáveis: y é a função desconhecida; x é a variável independente; p(x) e q(x) são as funções dadas na equação.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Aqui p(x)=3 (constante), então
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Escrevendo:
e^{3x}\frac{dy}{dx} + 3e^{3x}y = e^{3x}\big(x + e^{-2x}\big).
Pelo motivo do passo anterior, o lado esquerdo é a derivada do produto:
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big) = e^{3x}\big(x + e^{-2x}\big).

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^{3x}y = \int e^{3x}\big(x + e^{-2x}\big)\,dx + C,
onde C é constante de integração. Vamos calcular a integral do lado direito, separando:
\int e^{3x}\big(x + e^{-2x}\big)\,dx = \int x e^{3x}\,dx + \int e^{3x}e^{-2x}\,dx.
A segunda integral é simples:
\int e^{3x}e^{-2x}\,dx = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
A primeira integral \int x e^{3x}\,dx fazemos por partes. Lembre que a fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Escolhemos u = x e dv = e^{3x}dx. Então du = dx e v = \dfrac{e^{3x}}{3}. Aplicando:
\int x e^{3x}\,dx = x\cdot\frac{e^{3x}}{3} - \int \frac{e^{3x}}{3}\,dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{1}{3}\cdot\frac{e^{3x}}{3} = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9}.
Portanto somando as duas parcelas:
\int e^{3x}\big(x + e^{-2x}\big)\,dx = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + e^{x}.
Assim
e^{3x}y = \frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + e^{x} + C.

Passo 6

Isolamos y dividindo por e^{3x}:
y = \frac{1}{e^{3x}}\left(\frac{x e^{3x}}{3} - \frac{e^{3x}}{9} + e^{x} + C\right).
Simplificando termo a termo:
y = \frac{x}{3} - \frac{1}{9} + \frac{e^{x}}{e^{3x}} + C e^{-3x}.
Observe que \dfrac{e^{x}}{e^{3x}}=e^{-2x}. Portanto a solução geral fica
y(x)=\frac{x}{3} - \frac{1}{9} + e^{-2x} + C e^{-3x},
onde C é constante arbitrária.

Passo 7

Verificação rápida (checagem): podemos calcular \dfrac{dy}{dx} da solução encontrada e formar \dfrac{dy}{dx}+3y. Será que obtém x+e^{-2x}? Uma verificação rápida (deixe-me mostrar de forma resumida):
  • Derivando y: y'=\dfrac{1}{3} -2e^{-2x} -3C e^{-3x}.
  • Somando 3y: y' + 3y = \left(\dfrac{1}{3}-2e^{-2x}-3C e^{-3x}\right) + 3\left(\dfrac{x}{3}-\dfrac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x}\right).
  • Simplificando os termos (os de C e de e^{-2x} se cancelam adequadamente) obtemos x + e^{-2x}. Isso confirma que a solução está correta.

Resposta

y(x)=\frac{x}{3}-\frac{1}{9}+e^{-2x}+C e^{-3x},
onde C é constante arbitrária.

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