Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem: ( 1,5 ponto)
\frac{d y}{d x}+2 y=e^{-x}, \quad y(0)=1

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar claramente o que está dado e o que é pedido.
  • Equação diferencial dada:
\frac{d y}{d x}+2 y=e^{-x}
  • Condição inicial dada:
y(0)=1
  • O que se pede: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • O coeficiente que multiplica y é a função constante 2.
  • O termo do lado direito é e^{-x}.

Passo 2

Ideia do método que vamos usar (explicação didática do conceito).
Para equações lineares de primeira ordem da forma
\frac{d y}{d x}+P(x)\,y=Q(x),
usa-se o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação por \mu(x) obtemos
\mu(x)\frac{d y}{d x}+\mu(x)P(x)y=\mu(x)Q(x).
Pela regra do produto, se \mu'(x)=\mu(x)P(x) então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto (\mu(x)y(x))'. Assim, a equação se transforma em
(\mu y)'=\mu Q,
o que permite integrar diretamente em x. Aqui:
  • \mu(x) é o fator integrante;
  • P(x) é o coeficiente de y (no nosso caso P(x)=2);
  • Q(x) é o termo independente do lado direito (no nosso caso Q(x)=e^{-x}).

Passo 3

Calcular o fator integrante para o nosso caso.
Temos P(x)=2, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int 2\,dx\right)=\exp(2x)=e^{2x}.

Passo 4

Multiplicar a equação original por \mu(x)=e^{2x} e usar a observação do passo anterior.
Multiplicando,
e^{2x}\frac{d y}{d x}+2e^{2x}y = e^{2x}e^{-x}.
No lado direito usei a regra dos expoentes: e^{2x}e^{-x}=e^{x}.
Pela regra do produto, o lado esquerdo é a derivada de e^{2x}y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)=e^{x}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em x.
Integrando,
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}y\bigr)\,dx = \int e^{x}\,dx.
A integral do lado esquerdo dá e^{2x}y. A integral do lado direito é e^{x}+C, onde C é a constante de integração. Logo
e^{2x}y = e^{x} + C.

Passo 6

Isolar y(x).
Dividindo ambos os lados por e^{2x},
y(x) = e^{-2x}\bigl(e^{x}+C\bigr) = e^{-x} + C e^{-2x}.
Aqui expliquei cada passo algébrico: distribuir e^{-2x} em e^{x}+C usa a propriedade e^{-2x}e^{x}=e^{-x}.

Passo 7

Usar a condição inicial y(0)=1 para determinar a constante C.
Substituindo x=0 em y(x)=e^{-x}+C e^{-2x},
y(0)=e^{0}+C e^{0}=1+C.
Como y(0)=1, obtemos 1=1+C, logo
C=0.

Passo 8

Obter a solução particular e verificar rapidamente.
Com C=0 a solução final é
y(x)=e^{-x}.
Verificação rápida (substituição direta): se y=e^{-x} então y'=-e^{-x} e
y'+2y = -e^{-x}+2e^{-x}=e^{-x},
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.

Resposta

y(x)=e^{-x}

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