Resolva a equação diferencial linear de primeira ordem: ( 1,5 ponto)
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e a condição inicial. Vou listar claramente o que está dado e o que é pedido.
- Equação diferencial dada:
- Condição inicial dada:
- O que se pede: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e a condição inicial.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- O coeficiente que multiplica
é a função constante . - O termo do lado direito é
.
Passo 2
Ideia do método que vamos usar (explicação didática do conceito).
Para equações lineares de primeira ordem da forma
Para equações lineares de primeira ordem da forma
usa-se o fator integrante
definido por
Por que isso funciona? Se multiplicarmos a equação por
obtemos
Pela regra do produto, se
então o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Assim, a equação se transforma em
o que permite integrar diretamente em
. Aqui:
-
é o fator integrante; -
é o coeficiente de (no nosso caso ); -
é o termo independente do lado direito (no nosso caso ).
Passo 3
Calcular o fator integrante para o nosso caso.
Temos , então
Temos
Passo 4
Multiplicar a equação original por
e usar a observação do passo anterior.
Multiplicando,
Multiplicando,
No lado direito usei a regra dos expoentes:
.
Pela regra do produto, o lado esquerdo é a derivada de :
Pela regra do produto, o lado esquerdo é a derivada de
Passo 5
Integrar ambos os lados em
.
Integrando,
Integrando,
A integral do lado esquerdo dá
. A integral do lado direito é
, onde
é a constante de integração. Logo
Passo 6
Isolar
.
Dividindo ambos os lados por ,
Dividindo ambos os lados por
Aqui expliquei cada passo algébrico: distribuir
em
usa a propriedade
.
Passo 7
Usar a condição inicial
para determinar a constante
.
Substituindo em
,
Substituindo
Como
, obtemos
, logo
Passo 8
Obter a solução particular e verificar rapidamente.
Com a solução final é
Com
Verificação rápida (substituição direta): se
então
e
que coincide com o lado direito da equação original. Portanto a solução está correta.