Resolva a equação diferencial:
y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=e^{x}
usando o método da variação de parâmetros.

Passo 1

Enunciado e dados importantes: a equação diferencial dada é
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}+11y^{\prime}-6y = e^{x}.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) usando o método da variação de parâmetros. Informações relevantes: é uma equação linear de ordem três com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^{x}. Não iniciamos ainda a resolução, apenas identificamos o que é pedido e os dados fornecidos.

Passo 2

Encontrar as soluções da equação homogênea associada (isto é, as funções fundamentais).
A equação homogênea é
y^{\prime\prime\prime}-6y^{\prime\prime}+11y^{\prime}-6y = 0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo obtemos o polinômio característico
r^{3}-6r^{2}+11r-6=0.
Fatorando, notamos que
r^{3}-6r^{2}+11r-6=(r-1)(r-2)(r-3),
logo as raízes são r=1,2,3. Assim as três soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{2x},\qquad y_{3}(x)=e^{3x}.
A solução geral da homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Princípio da variação de parâmetros para ordem três (ideia e sistema).
Procuramos uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)+u_{3}(x)y_{3}(x),
onde u_{1},u_{2},u_{3}\) são funções a determinar. Para fixar as três funções únicas impomos as duas condições auxiliares usuais (para simplificar as derivadas) e a terceira equação que vem da substituição: \[\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)+u_{3}'(x)y_{3}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)+u_{3}'(x)y_{3}'(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}''(x)+u_{2}'(x)y_{2}''(x)+u_{3}'(x)y_{3}''(x)=e^{x}. \end{cases}
Em forma matricial isso é
\begin{pmatrix} y_{1} & y_{2} & y_{3}\\[4pt] y_{1}' & y_{2}' & y_{3}'\\[4pt] y_{1}'' & y_{2}'' & y_{3}'' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_{1}'\\[4pt] u_{2}'\\[4pt] u_{3}' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\[4pt] 0\\[4pt] e^{x} \end{pmatrix}.
Chamando a matriz à esquerda de M(x)\], obtemos \((u_{1}',u_{2}',u_{3}')^{T}=M(x)^{-1}(0,0,e^{x})^{T}. Vamos resolver esse sistema por regra de Cramer — isto exige calcular o Wronskiano W(x)=\det M(x) e os determinantes substituídos.]

Passo 4

Calcular o Wronskiano W(x).
As derivadas das soluções são
\begin{array}{l} y_{1}=e^{x},\; y_{1}'=e^{x},\; y_{1}''=e^{x},\\[4pt] y_{2}=e^{2x},\; y_{2}'=2e^{2x},\; y_{2}''=4e^{2x},\\[4pt] y_{3}=e^{3x},\; y_{3}'=3e^{3x},\; y_{3}''=9e^{3x}. \end{array}
Então
W(x)=\det \begin{pmatrix} e^{x} & e^{2x} & e^{3x}\\[4pt] e^{x} & 2e^{2x} & 3e^{3x}\\[4pt] e^{x} & 4e^{2x} & 9e^{3x} \end{pmatrix}.
Fatorando e^{x} da primeira coluna, e^{2x} da segunda e e^{3x} da terceira, obtemos
W(x)=e^{x}e^{2x}e^{3x}\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 4 & 9 \end{pmatrix}.
O determinante da matriz numérica é
\det \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\[4pt] 1 & 2 & 3\\[4pt] 1 & 4 & 9 \end{pmatrix} =1(2\cdot9-3\cdot4)-1(1\cdot9-3\cdot1)+1(1\cdot4-2\cdot1)=6-6+2=2.
Portanto
W(x)=2e^{6x}.]

Passo 5

Calcular u_{1}'(x),u_{2}'(x),u_{3}'(x) por Cramer (determinantes substituídos).
Temos o vetor direito b=(0,0,e^{x})^{T}. Usando a regra de Cramer:
u_{1}'(x)=\frac{\det\big([b\; y_{2}\; y_{3}]\big)}{W(x)},\quad u_{2}'(x)=\frac{\det\big([y_{1}\; b\; y_{3}]\big)}{W(x)},\quad u_{3}'(x)=\frac{\det\big([y_{1}\; y_{2}\; b]\big)}{W(x)}.
Calculemos cada determinante de forma direta (aproveitando zeros em b).
Para u_{1}' a matriz é
\begin{pmatrix} 0 & e^{2x} & e^{3x}\\[4pt] 0 & 2e^{2x} & 3e^{3x}\\[4pt] e^{x} & 4e^{2x} & 9e^{3x} \end{pmatrix}.
Expandindo pela primeira coluna (os dois primeiros elementos são zero), o determinante é
e^{x}\det \begin{pmatrix} e^{2x} & e^{3x}\\[4pt] 2e^{2x} & 3e^{3x} \end{pmatrix} = e^{x}\big(e^{2x}\cdot 3e^{3x} - e^{3x}\cdot 2e^{2x}\big) = e^{x}\cdot e^{5x}=e^{6x}.
Assim
u_{1}'(x)=\frac{e^{6x}}{2e^{6x}}=\frac{1}{2}.
Para u_{2}' a matriz é
\begin{pmatrix} e^{x} & 0 & e^{3x}\\[4pt] e^{x} & 0 & 3e^{3x}\\[4pt] e^{x} & e^{x} & 9e^{3x} \end{pmatrix}.
Expandindo pela segunda coluna (os dois primeiros elementos são zero) obtemos
\det = -e^{x}\det \begin{pmatrix} e^{x} & e^{3x}\\[4pt] e^{x} & 3e^{3x} \end{pmatrix} = -e^{x}\big(e^{x}\cdot 3e^{3x}-e^{3x}\cdot e^{x}\big) = -e^{x}\cdot 2e^{4x} = -2e^{5x}.
Logo
u_{2}'(x)=\frac{-2e^{5x}}{2e^{6x}}=-e^{-x}.
Para u_{3}' a matriz é
\begin{pmatrix} e^{x} & e^{2x} & 0\\[4pt] e^{x} & 2e^{2x} & 0\\[4pt] e^{x} & 4e^{2x} & e^{x} \end{pmatrix}.
Expandindo pela terceira coluna (os dois primeiros elementos são zero) obtemos
\det = e^{x}\det \begin{pmatrix} e^{x} & e^{2x}\\[4pt] e^{x} & 2e^{2x} \end{pmatrix} = e^{x}\big(e^{x}\cdot 2e^{2x}-e^{2x}\cdot e^{x}\big) = e^{x}\cdot e^{4x}=e^{5x}.
Portanto
u_{3}'(x)=\frac{e^{5x}}{2e^{6x}}=\frac{1}{2}e^{-x}.
Recapitulando:
u_{1}'(x)=\tfrac{1}{2},\qquad u_{2}'(x)=-e^{-x},\qquad u_{3}'(x)=\tfrac{1}{2}e^{-x}.]

Passo 6

Integrar u_{i}' para obter u_{i} e escolher constantes de integração apropriadas.
Integramos cada um:
u_{1}(x)=\int \tfrac{1}{2}\,dx=\tfrac{x}{2}+C_{1}^{*},
u_{2}(x)=\int -e^{-x}\,dx=e^{-x}+C_{2}^{*},
u_{3}(x)=\int \tfrac{1}{2}e^{-x}\,dx=-\tfrac{1}{2}e^{-x}+C_{3}^{*}.
Na construção de uma solução particular podemos tomar as constantes de integração C_{1}^{*}=C_{2}^{*}=C_{3}^{*}=0, porque qualquer constante adicionada a uma u_{i} apenas reproduziria parte da solução homogênea (e a solução geral adicionará essas partes de qualquer forma via constantes independentes). Assim, para a particular escolhemos
u_{1}(x)=\tfrac{x}{2},\qquad u_{2}(x)=e^{-x},\qquad u_{3}(x)=-\tfrac{1}{2}e^{-x}.

Passo 7

Construir a solução particular y_{p} e simplificar.
Lembrando y_{p}=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}, temos
\begin{aligned} y_{p}(x) &= \tfrac{x}{2}e^{x} + e^{-x}\cdot e^{2x} +\Big(-\tfrac{1}{2}e^{-x}\Big)\cdot e^{3x}\\[4pt] &= \tfrac{x}{2}e^{x} + e^{x} - \tfrac{1}{2}e^{2x}. \end{aligned}
Como verificação rápida (útil na prova): aplicando o operador linear L[y]=y'''-6y''+11y'-6y sobre \tfrac{x}{2}e^{x} obtém-se exatamente e^{x}, então \tfrac{x}{2}e^{x} já é uma escolha válida e simples de solução particular; os termos adicionais +e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{2x} podem ser absorvidos nas constantes da solução homogênea. Portanto a solução geral é a soma da homogênea com uma particular simples.]

Passo 8

Escrever a solução geral e apresentar de forma simplificada (absorvendo termos homogêneos constantes).
A solução geral é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}+\tfrac{x}{2}e^{x}+e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{2x}.
Como e^{x} e e^{2x} aparecem também na parte homogênea, podemos absorver os termos constantes +e^{x} e -\tfrac{1}{2}e^{2x} em novas constantes arbitrárias. Assim uma forma mais enxuta e comum da solução geral é
y(x)=\tilde C_{1}e^{x}+\tilde C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}+\tfrac{x}{2}e^{x},
onde \tilde C_{1},\tilde C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias (redefinições de C_{1},C_{2},C_{3}).

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+C_{3}e^{3x}+\frac{x}{2}e^{x}

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