O que se pede: encontrar a solução geral y(x) usando o método da variação de parâmetros. Informações relevantes: é uma equação linear de ordem três com coeficientes constantes e termo não-homogêneo e^{x}. Não iniciamos ainda a resolução, apenas identificamos o que é pedido e os dados fornecidos.
Passo 2
Encontrar as soluções da equação homogênea associada (isto é, as funções fundamentais).
A equação homogênea é
onde u_{1},u_{2},u_{3}\) são funções a determinar. Para fixar as três funções únicas impomos as duas condições auxiliares usuais (para simplificar as derivadas) e a terceira equação que vem da substituição:
\[\begin{cases} u_{1}'(x)y_{1}(x)+u_{2}'(x)y_{2}(x)+u_{3}'(x)y_{3}(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}'(x)+u_{2}'(x)y_{2}'(x)+u_{3}'(x)y_{3}'(x)=0,\\[4pt] u_{1}'(x)y_{1}''(x)+u_{2}'(x)y_{2}''(x)+u_{3}'(x)y_{3}''(x)=e^{x}. \end{cases}
Chamando a matriz à esquerda de M(x)\], obtemos \((u_{1}',u_{2}',u_{3}')^{T}=M(x)^{-1}(0,0,e^{x})^{T}. Vamos resolver esse sistema por regra de Cramer — isto exige calcular o Wronskiano W(x)=\det M(x) e os determinantes substituídos.]
Passo 4
Calcular o Wronskiano W(x).
As derivadas das soluções são
Na construção de uma solução particular podemos tomar as constantes de integração C_{1}^{*}=C_{2}^{*}=C_{3}^{*}=0, porque qualquer constante adicionada a uma u_{i} apenas reproduziria parte da solução homogênea (e a solução geral adicionará essas partes de qualquer forma via constantes independentes). Assim, para a particular escolhemos
Como verificação rápida (útil na prova): aplicando o operador linear L[y]=y'''-6y''+11y'-6y sobre \tfrac{x}{2}e^{x} obtém-se exatamente e^{x}, então \tfrac{x}{2}e^{x} já é uma escolha válida e simples de solução particular; os termos adicionais +e^{x}-\tfrac{1}{2}e^{2x} podem ser absorvidos nas constantes da solução homogênea. Portanto a solução geral é a soma da homogênea com uma particular simples.]
Passo 8
Escrever a solução geral e apresentar de forma simplificada (absorvendo termos homogêneos constantes).
A solução geral é
Como e^{x} e e^{2x} aparecem também na parte homogênea, podemos absorver os termos constantes +e^{x} e -\tfrac{1}{2}e^{2x} em novas constantes arbitrárias. Assim uma forma mais enxuta e comum da solução geral é