Use o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular das seguintes equações: y^{\prime \prime}+4 y=\tan (2 x)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 4y = \tan(2x)
e pede: encontrar uma solução particular y_p(x) (ou seja, qualquer função que satisfaça a equação sem as constantes do homogeneo). As informações relevantes são:
A equação é linear de segunda ordem, com coeficiente principal igual a 1.
O termo não homogêneo (forçamento) é g(x)=\tan(2x).
Não há mais dados (condições iniciais) — precisamos apenas de uma solução particular geral válida onde a função for definida.
Passo 2
Agora começamos a resolver. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea associada, porque a variação de parâmetros usa essa base de soluções.
A homogênea é
y'' + 4y = 0.
A equação característica é r^2 + 4 = 0, cujas raízes são r=\pm 2i. Logo uma base de soluções da homogênea é
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
Explicando rapidinho: quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega i, as soluções reais são \cos(\omega x) e \sin(\omega x). Aqui \omega=2.
Passo 3
Breve aula sobre o método da variação de parâmetros (intuição e fórmulas):
A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar (em vez de constantes).
- Impomos a condição auxiliar
\[u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0
para simplificar cálculos (isso elimina termos de segunda derivada indesejados).
Com essa escolha, substituindo em y''+4y=\tan(2x) obtemos o sistema para u_1' e u_2':
Esse sistema linear tem solução (usando o Wronskiano W\]):
\[u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},\]
onde \(g(x)=\tan(2x) e
Podemos desprezar a constante de integração aqui, porque qualquer constante adicionada a u_1 ou u_2 só gera termos da solução homogênea, que não interessam para a particular — afinal procuramos uma só y_p.
A integral de \cos(2x) já sabemos: \int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x). Para \int \operatorname{sec}(2x)\,dx usamos a primitiva conhecida \int \operatorname{sec} u\,du=\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|+C; com u=2x temos \int \operatorname{sec}(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)|.
Comentário final e domínio: essa função é uma solução particular válida em qualquer intervalo onde \tan(2x) e \operatorname{sec}(2x) sejam definidas continuamente (ou seja, onde \cos(2x)\neq 0). Em pontos onde \cos(2x)=0 o lado direito da equação original é singular, então tratamos soluções locais entre essas singularidades.