Use o método da variação de parâmetros para encontrar uma solução particular das seguintes equações:
y^{\prime \prime}+4 y=\tan (2 x)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y'' + 4y = \tan(2x)
e pede: encontrar uma solução particular y_p(x) (ou seja, qualquer função que satisfaça a equação sem as constantes do homogeneo). As informações relevantes são:
  • A equação é linear de segunda ordem, com coeficiente principal igual a 1.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é g(x)=\tan(2x).
  • Não há mais dados (condições iniciais) — precisamos apenas de uma solução particular geral válida onde a função for definida.

Passo 2

Agora começamos a resolver. Primeiro vamos achar a solução geral da homogênea associada, porque a variação de parâmetros usa essa base de soluções.
A homogênea é
y'' + 4y = 0.
A equação característica é r^2 + 4 = 0, cujas raízes são r=\pm 2i. Logo uma base de soluções da homogênea é
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
Explicando rapidinho: quando as raízes são puramente imaginárias \pm \omega i, as soluções reais são \cos(\omega x) e \sin(\omega x). Aqui \omega=2.

Passo 3

Breve aula sobre o método da variação de parâmetros (intuição e fórmulas):
  • A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x),
onde u_1\) e \(u_2\) são funções a determinar (em vez de constantes). - Impomos a condição auxiliar \[u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0
para simplificar cálculos (isso elimina termos de segunda derivada indesejados).
  • Com essa escolha, substituindo em y''+4y=\tan(2x) obtemos o sistema para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)\,y_1(x)+u_2'(x)\,y_2(x)=0,\\[6pt] u_1'(x)\,y_1'(x)+u_2'(x)\,y_2'(x)=\tan(2x). \end{cases}
  • Esse sistema linear tem solução (usando o Wronskiano W\]): \[u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W(x)},\] onde \(g(x)=\tan(2x) e
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2'\end{vmatrix}=y_1 y_2'-y_1' y_2.
Comentário didático: o Wronskiano mede a independência linear das soluções; aqui ele será constante, o que facilita bastante.]

Passo 4

Calcular as derivadas e o Wronskiano para nossas y_1,y_2:
y_1(x)=\cos(2x)\quad\Rightarrow\quad y_1'(x)=-2\sin(2x),
y_2(x)=\sin(2x)\quad\Rightarrow\quad y_2'(x)=2\cos(2x).
Logo o Wronskiano é
W(x)=\cos(2x)\cdot 2\cos(2x)-(-2\sin(2x))\cdot\sin(2x) =2\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)=2.
Observação: ficou constante igual a 2, o que facilita os cálculos seguintes.

Passo 5

Usando as fórmulas do Passo 3 com g(x)=\tan(2x) e W=2:
u_1'(x)=-\frac{y_2(x)\,g(x)}{W}=-\frac{\sin(2x)\,\tan(2x)}{2},
u_2'(x)=\frac{y_1(x)\,g(x)}{W}=\frac{\cos(2x)\,\tan(2x)}{2}.
Agora simplificamos cada expressão usando \tan(2x)=\dfrac{\sin(2x)}{\cos(2x)}.

Passo 6

Simplificando:
u_2'(x)=\frac{\cos(2x)\cdot \sin(2x)/\cos(2x)}{2}=\frac{\sin(2x)}{2}.
u_1'(x)=-\frac{\sin(2x)\cdot \sin(2x)/\cos(2x)}{2}=-\frac{\sin^2(2x)}{2\cos(2x)}.
Para integrar u_1' é útil reescrever \sin^2(2x) como 1-\cos^2(2x):
u_1'(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1-\cos^2(2x)}{\cos(2x)}=-\frac{1}{2}\big(\operatorname{sec}(2x)-\cos(2x)\big).

Passo 7

Agora integramos u_2' e u_1' passo a passo.
Para u_2:
u_2(x)=\int u_2'(x)\,dx=\int \frac{\sin(2x)}{2}\,dx=\frac{1}{2}\int \sin(2x)\,dx.
Fazendo a substituição t=2x (ou lembrando a primitiva direta), temos \int \sin(2x)\,dx=-\tfrac{1}{2}\cos(2x). Portanto
u_2(x)=\frac{1}{2}\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)=-\frac{1}{4}\cos(2x).
Podemos desprezar a constante de integração aqui, porque qualquer constante adicionada a u_1 ou u_2 só gera termos da solução homogênea, que não interessam para a particular — afinal procuramos uma só y_p.

Passo 8

Para u_1:
u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx=\int\left(-\frac{1}{2}\operatorname{sec}(2x)+\frac{1}{2}\cos(2x)\right)dx.
Separe em duas integrais:
u_1(x)=-\frac{1}{2}\int \operatorname{sec}(2x)\,dx+\frac{1}{2}\int \cos(2x)\,dx.
A integral de \cos(2x) já sabemos: \int \cos(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\sin(2x). Para \int \operatorname{sec}(2x)\,dx usamos a primitiva conhecida \int \operatorname{sec} u\,du=\ln|\operatorname{sec} u+\tan u|+C; com u=2x temos \int \operatorname{sec}(2x)\,dx=\tfrac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)|.
Assim:
u_1(x)=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\ln|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)|+\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x).
Ou seja
u_1(x)=-\frac{1}{4}\ln|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)|+\frac{1}{4}\sin(2x).
Novamente desprezamos a constante de integração por causa do mesmo motivo explicado antes.

Passo 9

Agora montamos a solução particular
y_p(x)=u_1(x)\,y_1(x)+u_2(x)\,y_2(x).
Substituindo u_1,u_2,y_1,y_2:
y_p(x)=\left(-\frac{1}{4}\ln|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)|+\frac{1}{4}\sin(2x)\right)\cos(2x) +\left(-\frac{1}{4}\cos(2x)\right)\sin(2x).

Passo 10

Simplificamos termos. Primeiro expandimos:
y_p(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)\ln|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)|+\frac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x) -\frac{1}{4}\cos(2x)\sin(2x).
Os dois últimos termos se cancelam porque são iguais com sinais opostos:
\frac{1}{4}\sin(2x)\cos(2x)-\frac{1}{4}\cos(2x)\sin(2x)=0.
Portanto sobra
y_p(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)\ln|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)|.

Passo 11

Comentário final e domínio: essa função é uma solução particular válida em qualquer intervalo onde \tan(2x) e \operatorname{sec}(2x) sejam definidas continuamente (ou seja, onde \cos(2x)\neq 0). Em pontos onde \cos(2x)=0 o lado direito da equação original é singular, então tratamos soluções locais entre essas singularidades.

Resposta

y_p(x)=-\frac{1}{4}\cos(2x)\,\ln\big|\operatorname{sec}(2x)+\tan(2x)\big|

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