Encontre a solução geral da equação:
y^{\prime \prime}+y=\csc x

Passo 1

Enunciado: temos a equação diferencial
y^{\prime\prime}+y=\csc x
e a tarefa é encontrar a solução geral y(x).
Informações importantes dadas:
\text{RHS}=\csc x=\frac{1}{\sin x},
portanto a equação é linear de segunda ordem, não homogênea. Note que \csc x não está definida quando \sin x=0; a solução só fará sentido em intervalos onde \sin x\neq0 (por exemplo (0,\pi), (\pi,2\pi), etc.).
O que se pede: a solução geral y(x) válida em cada intervalo onde \sin x\neq0.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y_h^{\prime\prime}+y_h=0.
Resolvendo o polinômio característico r^2+1=0 obtemos r=\pm i. Então a solução geral homogênea é
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias. Aqui \cos x e \sin x formam uma base de soluções da homogênea.

Passo 3

Agora precisamos de uma solução particular y_p(x) da equação completa. O método de coeficientes indeterminados não serve bem porque \csc x não é polinomial, exponencial nem combinação finita de senos e cossenos com coeficientes constantes no sentido que esse método exige. Por isso usamos o método de variação de parâmetros.
Breve explicação do método de variação de parâmetros (passo-a-passo): dado
y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)
e duas soluções independentes y_1,y_2 da homogênea, busca-se uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1,u_2 são funções a determinar. Impõe-se a condição suplementar
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0
para simplificar cálculos, juntamente com a condição que vem substituindo na equação original:
u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=g(x).
Isso forma um sistema linear em u_1' e u_2' que se resolve usando o Wronskiano.

Passo 4

Aplicando ao nosso caso: p(x)=0, q(x)=1, g(x)=\csc x. Tomamos y_1=\cos x e y_2=\sin x.
Calculamos o Wronskiano
W(y_1,y_2)(x)= \begin{vmatrix} y_1 & y_2\\[4pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos x & \sin x\\[4pt] - \sin x & \cos x \end{vmatrix} =\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Como W=1 fica bem simples. As fórmulas (obtidas resolvendo o sistema) para u_1' e u_2' são
u_1'=-\frac{g(x)\,y_2(x)}{W},\qquad u_2'=\frac{g(x)\,y_1(x)}{W}.
Substituindo g=\csc x, y_1=\cos x, y_2=\sin x e W=1 obtemos
u_1'=-\csc x\cdot\sin x=-1,
u_2'=\csc x\cdot\cos x=\frac{\cos x}{\sin x}=\cot x.]

Passo 5

Integramos para obter u_1 e u_2. Integrais:
u_1(x)=\int u_1'(x)\,dx=\int (-1)\,dx=-x + C_{1}^{*},
u_2(x)=\int u_2'(x)\,dx=\int \cot x\,dx=\ln|\sin x| + C_{2}^{*}.
Observação importante: as constantes de integração C_{1}^{*} e C_{2}^{*} podem ser descartadas aqui porque qualquer constante multiplicada por y_1 ou y_2 é uma solução da homogênea e já está incluída em y_h. Então, para construir uma particular, podemos escolher
u_1(x)=-x,\qquad u_2(x)=\ln|\sin x|.
A presença do valor absoluto em \ln|\sin x| garante validade para intervalos onde \sin x tem sinal constante.

Passo 6

Constuímos a solução particular:
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x)=(-x)\cos x + \ln|\sin x|\;\sin x.
Portanto a solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x - x\cos x + \sin x\ln|\sin x|.

Passo 7

Verificação rápida (sanidade): usando as condições do método, temos
u_1'y_1+u_2'y_2=(-1)\cos x + \cot x\sin x=-\cos x +\cos x=0,
e
u_1'y_1'+u_2'y_2' =(-1)(- \sin x)+\cot x(\cos x)=\sin x+\frac{\cos^2 x}{\sin x}=\frac{\sin^2 x+\cos^2 x}{\sin x}=\frac{1}{\sin x}=\csc x,
o que confirma que y_p satisfaz a equação particular conforme construído.
Domínio: a solução encontrada é válida em cada intervalo onde \sin x\neq0 (por exemplo em (0,\pi) ou (\pi,2\pi)), já que \csc x e \ln|\sin x| exigem \sin x\neq0.

Resposta

y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x - x\cos x + \sin x\ln|\sin x|

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