Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
y^prime prime-4 y^prime+5 y=e^-k

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 5y = e^-k
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Vamos precisar (1) resolver a parte homogênea associada, encontrando a solução geral yc, e (2) obter uma solução particular yp para o termo forçante e^-k.

Passo 2

Resolvemos primeiro a equação homogênea
y'' - 4y' + 5y = 0
Escrevendo a equação característica:
r^2 - 4r + 5 = 0
As raízes são
r = 4 pm raiz16 - 202 = 2 pm i
Logo, a solução geral da homogênea é
yc(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr),
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular yp para o termo constante e^-k. Como e^-k é uma constante (já que k é parâmetro fixo), fazemos a hipótese
yp(x) = A,
com A constante. Então
yp' = 0, yp'' = 0
Substituindo na equação original:
0 - 4cdot 0 + 5A = e^-k Longrightarrow 5A = e^-k Longrightarrow A = e^-k5
Portanto,
yp(x) = e^-k5

Passo 4

A solução geral da equação não-homogênea é a soma da parte homogênea com a particular:
y(x) = yc(x) + yp(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr) + e^-k5

Resposta

y(x) = e^2xl(C1cos x + C2sin xr) + e^-k5

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