Resolva a equação diferencial ou problema de valor inicial usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
usando o método dos coeficientes indeterminados.
Vamos precisar (1) resolver a parte homogênea associada, encontrando a solução geral , e (2) obter uma solução particular
para o termo forçante
.
Vamos precisar (1) resolver a parte homogênea associada, encontrando a solução geral
Passo 2
Resolvemos primeiro a equação homogênea
Escrevendo a equação característica:
As raízes são
Logo, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
para o termo constante
. Como
é uma constante (já que
é parâmetro fixo), fazemos a hipótese
com
constante. Então
Substituindo na equação original:
Portanto,
Passo 4
A solução geral da equação não-homogênea é a soma da parte homogênea com a particular: