Resolva a equação diferencial usando o método da variaçăo dos parâmetros.
y^prime prime+3 y^prime+2 y-sen(e^2)

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por variação dos parâmetros, a equação diferencial
y''+3y'+2y=sinl(e^2r)
O conteúdo envolvido é encontrar a solução geral de uma EDO linear de segunda ordem não homogênea. Vamos precisar de:
1. solução geral da homogênea yh,
2. as fórmulas de variação dos parâmetros para obter uma particular yp,
3. combinar yh e yp.

Passo 2

Primeiro, resolvemos a homogênea
y''+3y'+2y=0
A equação característica é
m^2+3m+2=0;Longrightarrow;(m+1)(m+2)=0;Longrightarrow;m=-1,,-2
Logo, duas soluções fundamentais são
y1=e^-x, y2=e^-2x,
e
yh=C1e^-x+C2e^-2x

Passo 3

Para variação dos parâmetros, calculamos o Wronskiano
W(x)= y1 & y2[6pt] y1' & y2' = e^-x & e^-2x[3pt] -,e^-x & -2e^-2x =-e^-3x
As fórmulas para as derivadas dos coeficientes variáveis são
u1'=-y2,f(x)W, u2'=y1,f(x)W,
once f(x)=sin(e^2).]

Passo 4

Substituindo y1,y2,f(x),W:
u1'=-e^-2x,sin(e^2)-e^-3x =sin(e^2),e^x, u2'=e^-x,sin(e^2)-e^-3x =-sin(e^2),e^2x
Integramos:
u1=integral sin(e^2),e^x,dx =sin(e^2),e^x, u2=integral -sin(e^2),e^2x,dx =-sin(e^2)2,e^2x

Passo 5

A solução particular é
yp=u1,y1+u2,y2 =sin(e^2),e^xcdot e^-x -sin(e^2)2,e^2xcdot e^-2x =sin(e^2)-tfrac12sin(e^2) =sin(e^2)2
Portanto, a solução geral é
y(x)=yh+yp =C1e^-x+C2e^-2x+sin(e^2)2

Resposta

boxed,y(x)=C1e^-x+C2e^-2x+sin(e^2)2,

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