Resolva a equação diferencial
(4 pts) Resolva a equação diferencial
(y / x+6 x) d x+(\ln x-2) d y=0, \quad x>0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx+(\ln x-2)\,dy=0,\quad x>0
Isto é do tipo M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0. Vamos tratar como uma equação exata: primeiro checar se
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.

Passo 2

Identificamos
M(x,y)=\frac{y}{x}+6x, \quad N(x,y)=\ln x-2.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr) =\frac{1}{x},
\frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(\ln x-2) =\frac{1}{x}.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Por exatidão existe uma função potencial \psi(x,y) tal que
\frac{\partial \psi}{\partial x}=M(x,y).
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\psi(x,y) =\int\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx =y\int\frac{1}{x}\,dx+6\int x\,dx =y\ln x+3x^2+h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender de y.

Passo 4

Para determinar h(y)$, usamos \[\frac{\partial \psi}{\partial y}=N(x,y).\] Como \[\frac{\partial \psi}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\bigl(y\ln x+3x^2+h(y)\bigr) =\ln x + h'(y),\] devemos ter \[\ln x + h'(y)=\ln x-2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y)=-2.\] Integrando em \(y,
h(y)=-2y.)

Passo 5

Logo a função potencial completa é
\psi(x,y)=y\ln x+3x^2-2y.
A solução geral da equação diferencial exata vem de
\psi(x,y)=C,
ou seja

Resposta

y\ln x+3x^2-2y=C,
com C constante arbitrária.

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