Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{4 x^{3}-x^{2}+2 x-1}{x^{4}+x^{2}} d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{4x^{3}-x^{2}+2x-1}{x^{4}+x^{2}}\,dx.
Trata-se de uma função racional cujo denominador se fatora como x^2(x^2+1). Vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Fatorando o denominador, temos
x^{4}+x^{2}=x^{2}(x^{2}+1).
Postulamos a decomposição
\frac{4x^{3}-x^{2}+2x-1}{x^{2}(x^{2}+1)} =\frac{A}{x}+\frac{B}{x^{2}}+\frac{Cx+D}{x^{2}+1}.
Multiplicando ambos os lados por x^{2}(x^{2}+1) e igualando ao numerador original, obtém-se
4x^{3}-x^{2}+2x-1 = A\,x(x^{2}+1)+B(x^{2}+1)+(Cx+D)x^{2}.

Passo 3

Expandindo a expressão da direita:
A x^{3}+A x + B x^{2}+B + C x^{3}+D x^{2} = (A+C)x^{3} + (B+D)x^{2} + A x + B.
Igualando coeficientes de cada potência de x, vem o sistema
\begin{cases} A + C = 4,\\\ B + D = -1,\\\ A = 2,\\\ B = -1. \end{cases}
Daí
A=2,\quad B=-1,\quad C=4-2=2,\quad D=-1-(-1)=0.

Passo 4

Substituindo em cada termo, a integranda fica
\frac{4x^{3}-x^{2}+2x-1}{x^{2}(x^{2}+1)} = \frac{2}{x} \;-\;\frac{1}{x^{2}}\;+\;\frac{2x}{x^{2}+1}.

Passo 5

Integramos cada parcela:
\int \frac{2}{x}\,dx = 2\ln|x|,
\int \bigl(-x^{-2}\bigr)\,dx = x^{-1} = \frac{1}{x},
\int \frac{2x}{x^{2}+1}\,dx = \ln\bigl(x^{2}+1\bigr).
Somando, obtemos
2\ln|x| \;+\;\frac{1}{x}\;+\;\ln\bigl(x^{2}+1\bigr)+C.

Resposta

\int \frac{4x^{3}-x^{2}+2x-1}{x^{4}+x^{2}}\,dx = 2\ln|x| + \frac{1}{x} + \ln\bigl(x^{2}+1\bigr) + C.

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