Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}} d x(0,4 \mathrm{pts})

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx.
Aqui usamos o conteúdo de substituição hiperbólica, aproveitando que \operatorname{cosh}^{2}(u)-\operatorname{sinh}^{2}(u)=1.

Passo 2

Fazemos a substituição
x = \operatorname{sinh}(u),
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dx = \operatorname{cosh}(u)\,du \quad\text{e}\quad \sqrt{1+x^{2}} = \sqrt{1+\operatorname{sinh}^{2}(u)} = \operatorname{cosh}(u).

Passo 3

Substituindo na integral, temos
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \int \frac{1}{\operatorname{cosh}(u)}\;\bigl(\operatorname{cosh}(u)\,du\bigr) = \int du = u + C.

Passo 4

Voltando à variável x, como u = \operatorname{arsinh}(x), obtemos
\int \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}\,dx = \operatorname{arsinh}(x) + C.
Sabendo que \operatorname{arsinh}(x)=\ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr), dá-se também a forma logarítmica.

Resposta

\operatorname{arsinh}(x) + C \quad\text{ou}\quad \ln\bigl(x+\sqrt{1+x^{2}}\bigr) + C.

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