a) Resolva a equação diferencial t^3 d yd t+4 t^2 y=e^-t, y=y(t).
Resolva o PVI e determine o intervalo no qual a solução está definida.
l y^prime=2 x /(1+2 y) y(2)=0, y=y(t)

Passo 1

Temos duas tarefas:
  1. Resolver a EDO linear de primeira ordem
t^3,dydt + 4,t^2,y = e^-t,
obtendo a solução geral y=y(t).
2. Resolver o PVI
y' = 2x1+2y, y(2)=0,
determinando a solução y=y(t) e o maior intervalo em que ela existe.

Passo 2

Para a equação
t^3y' + 4t^2y = e^-t
dividimos por t^3 (para tneq0) e escrevemos no formato padrão
y' + 4t,y = t^-3e^-t

Passo 3

O fator integrante é
mu(t) = exp!l(integral 4t,dtr) = t^4
Multiplicando por mu(t) obtemos
t^4y' + 4t^3y = t,e^-t,
e reconhecemos o lado esquerdo como ddt(t^4y).

Passo 4

Integramos em relação a t:
ddt(t^4y) = t,e^-t Longrightarrow t^4y = integral t,e^-t,dt = -,(t+1),e^-t + C
Logo a solução geral é
y(t) = -,(t+1),e^-t + Ct^4

Passo 5

Agora a EDO do PVI é separável:
y' = 2x1+2y Longrightarrow (1+2y),dy = 2x,dx

Passo 6

Integramos ambos os lados:
integral (1+2y),dy = integral 2x,dx Longrightarrow y + y^2 = x^2 + C
Como y(2)=0 0 + 0 = 4 + C, então C=-4. A relação implícita é
y^2 + y = x^2 - 4

Passo 7

Resolvendo para y pela fórmula de Bhaskara:
y = -1 pm raiz1 - 4,(1),( -x^2+4)2 = -1 pm raiz4x^2 - 152
Em x=2 queremos y=0 e raiz4cdot2^2-15=1, então escolhemos o sinal +. Assim
y(t) = -1 + raiz4t^2 - 152
Para que a raiz seja real é necessário 4t^2-15>=0, isto é lvert trvert>=tfracraiz152. Como o ponto inicial t=2 satisfaz 2>tfracraiz152, o maior intervalo de definição contendo 2 é
l(tfracraiz152,;inftyr)

Resposta

A solução geral de
t^3y' + 4t^2y = e^-t
é
y(t) = -,(t+1),e^-t + Ct^4,
e o PVI
y' = 2t1+2y, y(2)=0
tem solução
y(t) = -1 + raiz4t^2 - 152,
definida no intervalo l(tfracraiz152,inftyr).

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