a) Resolva a equação diferencial
.
Resolva o PVI e determine o intervalo no qual a solução está definida.
Resolva o PVI e determine o intervalo no qual a solução está definida.
Passo 1
Temos duas tarefas:
- Resolver a EDO linear de primeira ordem
obtendo a solução geral
.
2. Resolver o PVI
2. Resolver o PVI
determinando a solução
e o maior intervalo em que ela existe.
Passo 2
Para a equação
dividimos por
(para
) e escrevemos no formato padrão
Passo 3
O fator integrante é
Multiplicando por
obtemos
e reconhecemos o lado esquerdo como
.
Passo 4
Integramos em relação a
:
Logo a solução geral é
Passo 5
Agora a EDO do PVI é separável:
Passo 6
Integramos ambos os lados:
Como
dá
, então
. A relação implícita é
Passo 7
Resolvendo para
pela fórmula de Bhaskara:
Em
queremos
e
, então escolhemos o sinal
. Assim
Para que a raiz seja real é necessário
, isto é
. Como o ponto inicial
satisfaz
, o maior intervalo de definição contendo
é
Resposta
A solução geral de
é
e o PVI
tem solução
definida no intervalo
.