Determine qual o grau de homogeneidade da equação diferencial e em seguida resolva utilizando o método das homogêneas:
\left(y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x-x\left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(y \sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d x - x\left(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y = 0
As perguntas são: (1) determinar o grau de homogeneidade da equação; (2) resolver a equação usando o método das homogêneas. Informações óbvias extraídas do enunciado: os termos dependem de x, y e de \sqrt{x^{2}+y^{2}}. Não há figura nem condição inicial. Vou trabalhar com a equação como uma equação de primeira ordem no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 e usar a substituição homogênea habitual y=vx.

Passo 2

Primeiro identifiquemos M e N:
M(x,y)=y\sqrt{x^{2}+y^{2}},\qquad N(x,y)=-x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr).
Para verificar homogeneidade, substituímos (x,y) por (t x,t y) e vemos como M e N escalam. Observamos que \sqrt{(t x)^{2}+(t y)^{2}}=|t|\sqrt{x^{2}+y^{2}}. Tomando t>0 para simplicidade (podemos tratar o caso t<0 com valores absolutos), temos
M(tx,ty)= (t y)\cdot (t \sqrt{x^{2}+y^{2}})=t^{2} y\sqrt{x^{2}+y^{2}}=t^{2}M(x,y),
N(tx,ty)=- (t x)\bigl(t x + t\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr) = -t^{2} x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)=t^{2}N(x,y).
Logo M e N são homogêneos do mesmo grau 2. Portanto o grau de homogeneidade da equação é 2.

Passo 3

Agora vamos resolver. É conveniente escrever a equação na forma explícita para \dfrac{dy}{dx}. Da equação original:
y\sqrt{x^{2}+y^{2}}\,dx = x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)\,dy,
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\frac{dy}{dx}=\frac{y\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x\bigl(x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}\bigr)}.
Como a razão do lado direito é função de y/x apenas (pois cada termo tem grau 2), aplicamos a substituição homogênea padrão
y=vx \quad\text{(ou seja } v=\tfrac{y}{x}\text{)}.

Passo 4

Calculemos as expressões necessárias com y=vx. Primeiro
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=\sqrt{x^{2}+v^{2}x^{2}}=|x|\sqrt{1+v^{2}}.
Para simplificar a exposição, vou trabalhar no ramo onde x>0, assim |x|=x. (Se x<0 a forma final fica análoga, apenas aparecem sinais/valores absolutos nos logaritmos.) Com isso:
\sqrt{x^{2}+y^{2}}=x\sqrt{1+v^{2}},\qquad y=vx.
Também
\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}.

Passo 5

Substituindo em \dfrac{dy}{dx} obtemos:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{(v x)\cdot (x\sqrt{1+v^{2}})}{x\bigl(x+x\sqrt{1+v^{2}}\bigr)}.
Simplificando fator x quando possível:
v+x\frac{dv}{dx}=\frac{v x^{2}\sqrt{1+v^{2}}}{x^{2}\bigl(1+\sqrt{1+v^{2}}\bigr)} =\frac{v\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.
Subtraindo v dos dois lados:
x\frac{dv}{dx}=\frac{v\sqrt{1+v^{2}}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}-v.
Calcule a diferença no lado direito: com A=\sqrt{1+v^{2}},
\frac{vA}{1+A}-v=v\Bigl(\frac{A}{1+A}-1\Bigr)=v\Bigl(\frac{A-(1+A)}{1+A}\Bigr)=v\Bigl(\frac{-1}{1+A}\Bigr)=-\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.
Portanto obtemos a equação separável
x\frac{dv}{dx}=-\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}.

Passo 6

Separe as variáveis v e x:
\frac{1+\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv = -\frac{dx}{x}.
Escrevemos o lado esquerdo como soma de dois termos:
\left(\frac{1}{v} + \frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\right)dv = -\frac{dx}{x}.
Integramos ambos os lados:
\int\frac{1}{v}\,dv + \int\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv = -\int\frac{dx}{x}.

Passo 7

O primeiro integral é direto:
\int\frac{1}{v}\,dv=\ln|v|.
Para o segundo integral \displaystyle \int\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv fazemos a substituição hiperbólica v=\operatorname{sinh} t. Então \sqrt{1+v^{2}}=\operatorname{cosh} t e dv=\operatorname{cosh} t\,dt. Assim
\int\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv=\int\frac{\operatorname{cosh} t}{\operatorname{sinh} t}\cdot\operatorname{cosh} t\,dt =\int\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt.
Usando \operatorname{cosh}^{2}t=1+\operatorname{sinh}^{2}t obtemos
\int\frac{\operatorname{cosh}^{2}t}{\operatorname{sinh} t}\,dt=\int\left(\frac{1}{\operatorname{sinh} t}+\operatorname{sinh} t\right)dt =\int\csch t\,dt + \int\operatorname{sinh} t\,dt.
As primitivas são conhecidas:
\int\operatorname{sinh} t\,dt=\operatorname{cosh} t,\qquad \int\csch t\,dt=\ln\!\bigl(\operatorname{tanh}\tfrac{t}{2}\bigr)+C.
Voltando a v (lembre que \operatorname{tanh}\tfrac{t}{2}=\dfrac{\operatorname{sinh} t}{1+\operatorname{cosh} t}=\dfrac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}), obtemos
\int\frac{\sqrt{1+v^{2}}}{v}\,dv=\sqrt{1+v^{2}}+\ln\!\left(\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right)+C.

Passo 8

Somando os dois integrais do lado esquerdo:
\ln|v| + \sqrt{1+v^{2}} + \ln\!\left(\frac{v}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right) = -\ln|x| + C.
Combine os logaritmos:
\sqrt{1+v^{2}} + \ln\!\left(\frac{v^{2}}{1+\sqrt{1+v^{2}}}\right) = -\ln|x| + C.
Agora substituímos v=\dfrac{y}{x} e, lembrando que trabalhamos com x>0 (assim \sqrt{1+v^{2}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x}), obtemos uma forma implícita mais elegante. Multiplicando e reorganizando os termos logarítmicos dá-se um cancelamento conveniente:
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} + \ln\!\left(\frac{y^{2}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) = C,
onde C é constante arbitrária (absorvemos o -\ln|x| na constante e reorganizamos).

Passo 9

Comentário sobre sinais e domínio: a dedução acima usou x>0 para eliminar valores absolutos; se x<0 o mesmo tipo de solução implícita vale, mas com \dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{\lvert x\rvert} e logs com valores absolutos apropriados. Na prática, a solução geral implícita pode ser escrita (sem especificar ramo) como
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} + \ln\!\left(\frac{y^{2}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) = C,
valendo em um domínio onde as expressões estão definidas.

Resposta

Grau de homogeneidade: 2.
Solução geral (implícita):
\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{x} + \ln\!\left(\frac{y^{2}}{x+\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right) = C.

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