Determine qual o grau de homogeneidade da equação diferencial e em seguida resolva utilizando o método das homogêneas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
As perguntas são: (1) determinar o grau de homogeneidade da equação; (2) resolver a equação usando o método das homogêneas. Informações óbvias extraídas do enunciado: os termos dependem de
,
e de
. Não há figura nem condição inicial. Vou trabalhar com a equação como uma equação de primeira ordem no formato
e usar a substituição homogênea habitual
.
Passo 2
Primeiro identifiquemos
e
:
Para verificar homogeneidade, substituímos
por
e vemos como
e
escalam. Observamos que
. Tomando
para simplicidade (podemos tratar o caso
com valores absolutos), temos
Logo
e
são homogêneos do mesmo grau
. Portanto o grau de homogeneidade da equação é
.
Passo 3
Agora vamos resolver. É conveniente escrever a equação na forma explícita para
. Da equação original:
logo
Como a razão do lado direito é função de
apenas (pois cada termo tem grau
), aplicamos a substituição homogênea padrão
Passo 4
Calculemos as expressões necessárias com
. Primeiro
Para simplificar a exposição, vou trabalhar no ramo onde
, assim
. (Se
a forma final fica análoga, apenas aparecem sinais/valores absolutos nos logaritmos.) Com isso:
Também
Passo 5
Substituindo em
obtemos:
Simplificando fator
quando possível:
Subtraindo
dos dois lados:
Calcule a diferença no lado direito: com
,
Portanto obtemos a equação separável
Passo 6
Separe as variáveis
e
:
Escrevemos o lado esquerdo como soma de dois termos:
Integramos ambos os lados:
Passo 7
O primeiro integral é direto:
Para o segundo integral
fazemos a substituição hiperbólica
. Então
e
. Assim
Usando
obtemos
As primitivas são conhecidas:
Voltando a
(lembre que
), obtemos
Passo 8
Somando os dois integrais do lado esquerdo:
Combine os logaritmos:
Agora substituímos
e, lembrando que trabalhamos com
(assim
), obtemos uma forma implícita mais elegante. Multiplicando e reorganizando os termos logarítmicos dá-se um cancelamento conveniente:
onde
é constante arbitrária (absorvemos o
na constante e reorganizamos).
Passo 9
Comentário sobre sinais e domínio: a dedução acima usou
para eliminar valores absolutos; se
o mesmo tipo de solução implícita vale, mas com
e logs com valores absolutos apropriados. Na prática, a solução geral implícita pode ser escrita (sem especificar ramo) como
valendo em um domínio onde as expressões estão definidas.
Resposta
Grau de homogeneidade:
Solução geral (implícita):